Bedste svar
“Summen af alle de reelle tal” er ikke defineret i konventionel matematik, og jeg er ikke sikker at det kunne defineres uden at forårsage alvorlige problemer.
Det første problem er, at sættet med alle reelle tal er et utalligt sæt, dvs. det kan ikke sættes i et en-til-en forhold med tællingen tal (dvs. 1, 2, 3, 4 osv.) Der er ikke en konventionel definition af summen af medlemmerne af et utalligt sæt, men der er summen af medlemmerne i nogle tællelige sæt.
Antag at du har et tællesæt {x1, x2, x3,…. xn,…}. Du kan definere en delsum Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, dvs. summen af de første n termer. For at sikre, at intet går galt, hvis du omorganiserer sættet, kan du definere en positiv delsum Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Hvis grænsen (som n går til uendelighed) af serien Pn eksisterer, findes grænsen for serien Sn også (men er ikke den samme som grænsen for Pn, medmindre alle xn er ikke-negative). Det betyder, at du kan sige, at summen af alle numrene i vores tællesæt er grænsen for serien Sn.
Så hvis sættet er {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, du har en pænt konvergerende serie, og summen af medlemmerne af sættet er 1. Hvis du har alle heltalene (negativ annonce negativ), har du et tællesæt {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, men delsummen konvergerer ikke – de er 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Den manglende konvergens af heltalene opstår på trods af det faktum, at hvert positivt heltal n har et tilsvarende negativt heltal, så man skulle tro, at de annullerer. De annullerer dog ikke ved hvert alternativt delbeløb, og de annullerer ikke, hvis du tog sættet i en anden rækkefølge, f.eks. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
De reelle tal er dårligere, fordi der ikke er en definition af en sum af sættet, da det er utallige, og selvom der var en, ville det at ændre den rækkefølge, som du tog dem, give et andet resultat, selvom der for hvert positivt reelt tal er et tilsvarende negativt reelt tal.
Svar
Lad os løse det ved hjælp af gruppeteori.
Lad G (\ mathbb {R}, +) være en gruppe.
Den har additiv identitet dvs. 0 og additiv invers \ forall a \ i G, er -a.
Nu tilføjer vi alle elementerne i denne gruppe, vi har par af et tal, og det er omvendt annullerer hinanden.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ i G ^ +} + \ sum\_ {a \ i G ^ -} + 0, Vi kan skrive dette på grund af kommutativ og associerende egenskab af denne speciel gruppe.
Vi delte sættet \ mathbb {R} i \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} og identitetselement.
Lad os skrive ovenstående udtryk som
= X + Y + 0
Som 0 er identitet, så
ovenfor giver udtryk
= X + Y
Nu, \ for alle a \ i X, a ^ {- 1} \ in Y
\ antyder X = Y ^ {- 1}
\ indebærer Y = -X
\ indebærer X + Y = identitetselement af G = 0.
Derfor er summen af alle de reelle tal nul.