Hvad er summen af kvadratrødderne af det første n naturlige tal?

Bedste svar

Jeg tror, at værdien af denne sum (som er betegnet med) \; \; S \; \; er cirka \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Det kan retfærdiggøres som følger:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; giver arealet under kurven \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; X-akse og ordinaterne ved \; \; x \; = \; 1 \; \; og \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

Den krævede sum \; \; S (n) \; \; kan fortolkes som området \; \; n \; \; rektangulære lodrette bjælker med bredden \; \; 1 \; \; i højden \; \; \ sqrt {j} \; \; rejst på \; \; X – \; \; aksen hvor \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (de lodrette sider af \; \; j ^ {th} \; \; rektanglet er dele af ordinaterne ved \; \; x = j \; \; og \; \; x = j + 1 \ ; \;)

For at få en god tilnærmelse er vi nødt til at trække fejludtrykket \; \; E (n) \; = \; området mellem kurven og de rektangulære bjælker fra (1).

Bemærk at \; \; E (n) \; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Ved forenkling får vi \; \; S (n) \; \ ca. \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;