Bedste svar
Antag, at der er en cirkel med fem ækvistante punkter A, B, C, D og E på dens omkreds, således at buen ABCDEA fuldender cirklen.
Så der er fem lige store buer (AB, BC, CD, DE og EA), hver underskriver en vinkel {(360⁰) / 5) = 72⁰ i midten.
Nu er stjerne vinklen ved toppunkt A intet andet end den vinkel, der er undertrykt af bue-CD i punkt A; som er {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Så summen af fem stjernevinkler ved fem hjørner = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Svar
Dette problem afhænger af, hvordan du definerer en “stjerne”. Men alligevel, lad os starte med enkle tilfælde, så skal den generelle formel vise sig.
Hvis der er 3 point, kan vi kun have en ligesidet trekant, så vinklen er 60 grader. (Jeg inkluderer dette som stjerne også, definer min stjerne senere).
Hvis der er 4 punkter, kan vi kun have en firkant, så vinklen er 90 grader.
Hvis der er 5 point , vi kan have en femkant, hvor vinklen er 108 grader, eller vi kan have en “stjerne” i spørgsmålet, hvor vinklen er 36 grader.
Generelt for n point kan vi dele en cirkel i n lige store buesektioner. I tilfælde af 3 og 4 punkter er den eneste måde, du kan tegne en “perfekt-symmetrisk lukket sløjfe” (stjernedefinitionen) ved at forbinde punkter til deres tilstødende punkter, i så fald lad os sige deres trin (antal krydsende buesektioner i et liniesnit) k er 1. To sammenhængende linjer vil danne en vinkel, så formlen for denne type “stjerne” (ligesidet trekant, firkant, femkant, sekskant osv.) er 180 * (n-2 * 1) / n grader.
I 3, 4 point ca se, er der ingen anden løsning end trin 1. I 5-punkts tilfælde udover trin 1 udgør et trin på 2 den 36 graders stjerne. Så når trin k er relativ prime til punkterne n, kan vi have vinkelformlen
180 * (n-2 * k) / n grader.
Så i 6 point , den eneste løsning er k = 1, så vinklen er 120 grader.
I 7-punkts tilfælde kunne k være 1, 2 eller 3, når k = 1 er vinklen 900/7 grader; når k = 2 er vinklen 540/7 grader; når k = 3 er vinklen 180/7 grader.
I 8-punkts tilfælde kan k være 1 eller 3, når k = 1 er vinklen 135 grader; når k = 3 er vinklen 45 grader.