Bedste svar
Som mange allerede har svaret korrekt, har uendelig cosinus ingen værdi. Men det er værre. Det er så slemt som det muligvis kan være.
Komplekse funktioner
De trigonometriske funktioner, inklusive cosinus, er normalt betragtes som funktioner, der tager reelle tal som argumenter, men de kan udvides til at være komplekse funktioner. Du kan gøre dette for cosinus ved at bruge denne power series definition
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Det gør cosinus defineret på hele det komplekse plan \ mathbf C.
By udvide funktioner til komplekse argumenter, kan du forstå dem på måder, du ikke kan, når kun rigtige argumenter bruges. Det er styrken ved kompleks analyse.
De udvidede komplekse tal \ overline {\ mathbf C}
Overvej meget enklere funktion f (z) = 1 / z. Det er defineret for alle komplekse tal undtagen z = 0. Det ser ud til at have en uendelig værdi på z = 0, og der er en måde at formalisere dette koncept på. Udvid de komplekse tal med et element, betegnet \ infty for at få det, der undertiden kaldes det lukkede komplekse plan eller Riemann-sfæren, \ overline {\ mathbf C}. Med det kan du definere 1/0 = \ infty og 1 / \ infty = 0, så denne funktion f (z) = 1 / z er defineret på hele \ overline {\ mathbf C}. Faktisk giver det en sammenhæng \ overline {\ mathbf C} \ til \ overline {\ mathbf C}.
Hvad sker der, når du prøver dette med tangentfunktionen \ tan z? Der sker nogle gode ting. Mens for reelle tal er \ tan \ pi / 2 ikke defineret, for \ overline {\ mathbf C} er det defineret, og faktisk \ tan \ pi / 2 = \ infty. Singulariteten for \ tan z ved z = \ pi / 2 er som singulariteten for 1 / z ved z = 0.
Disse to funktioner, 1 / z og \ tan z, har poler , det vil sige, de får værdien \ infty. Funktionen 1 / z har en pol ved z = 0. Funktionen \ tan z har uendeligt mange poler, en for hver værdi af z lig med \ pi / 2 plus et integreret multiplum af \ pi.
Cosine af \ infty
Det er tid til at vende tilbage til \ cos \ infty.
Overvej funktionen f (z) = \ cos (1 / z). At bede om cosinus af \ infty er det samme som at bede om f (0), da i \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. I modsætning til polerne til funktionerne 1 / z og \ tan z nævnt ovenfor har denne funktion det, der kaldes en væsentlig singularitet. Vilkårligt nær z = 0, funktionen f (z) = \ cos (1 / z) påtager sig alle komplekse tal uendeligt mange gange. Det betyder, at \ cos z har en væsentlig singularitet ved z = \ infty. Det er så slemt som det overhovedet kan være.
Svar
Det svarer ikke til noget. Cos (uendelig) er ubestemt, fordi sinus cosinus og tangens, såvel som den vender (secant, cosecant og cotangent) er afledt af enhedscirklen.
cosinus er x-aksen, og sinus er y-aksen. Dette skaber en ret trekant. Enhedens cirkel er centreret ved oprindelsen. Og den rigtige trekant, der er “skabt”, længden af benene er, hvor de er afledt.
For ting som 390 grader bevæger den sig mere end en gang, og vinklen vurderes som om den kun gik fra 0 grader til det sted, hvor det sluttede, hvilket er mindre end 360. Dette er stort set bare modul.
Det udtryk, der kan repræsentere dette, er n mod 360 (eller for datalogi, n\% 360), hvor n er vinklen.
Så for infinity mod 360 kan jeg ikke have et svar, fordi uendelig konstant stiger. så det kunne teknisk være alt. Uendelighed er ikke tal, det er et koncept. Konceptet med at have ingen ende. Så ved at bruge uendelighed som et tal er det bare at have en værdi, der på en måde altid stiger. Dette overforenkler det lidt, da det ikke rigtig stiger, det er mere som at antage, at der er en ende, når der ikke er, listen over numre ikke har nogen ende. Dens værdi er ubegrænset. Derfor bruger vi grænser, når vi beskæftiger os med uendelig. Selvom uendelighed som et tal grundlæggende bruger grænser, kan vi ikke sige 1 / uendelighed er nul, da uendelighed kun konstant stiger i værdi, men det spørger ikke, hvad det konvergerer til. Selvom det konvergerer til nul, vil det aldrig være nul. Det nærmeste, det nogensinde vil være nul, er 1 – 0,999…., Selvom 0,999… er blevet sagt at være lig med 1, er det ikke. Logisk er det ikke, og det kan det ikke være. Hvis vi accepterer det, kan vi lige så let sige, at 1 = 2, og ethvert n er lig med hvilket som helst m (n = m).
Tilbage til det originale spørgsmål, hvis du ser på en graf for cos (x), vil du se, at det oscillerer kontinuerligt og går fra 1 til -1. Så når det går til uendelig, vil det aldrig konvergere, og cos (uendeligt) skifter altid mellem 1 og -1. At vælge en hvilken som helst værdi mellem disse vil ikke være uendelig, da den altid vokser i værdi.
Så til sidst er cos (uendelighed) ubestemt.