Bedste svar
Vi kan nærme os dette geometrisk. Der er tre løsninger, de er: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° og 1 / \_240 ° i polær form. Vi skal overveje domænet for komplekse tal. (i øjeblikket er jeg ikke i stand til at give diagrammer, så jeg undskylder). Brug af pen og papir, mens du læser dette svar, ville være meget nyttigt.
Bemærk: “/ \_” repræsenterer “vinkel”. Vinklen måles mod uret i forhold til den positive reelle akse (positiv x-akse). Også 0 ° er det samme som 360 °, 720 ° og så videre. Enhver vinkel θ er den samme som θ + 360 °.
Geometrisk, hvis vi repræsenterer 1 på et komplekst plan som 1 + 0i (1,0); dette er lig med 1 / \_ 0 ° eller 1 / \_360 ° i polær form. Vi kunne tegne en enhedscirkel med centrum ved oprindelsen 0,0. Ved at opdele enhedscirklen på 360 ° (eller 2π radianer) i 3 lige store dele får vi de tre nødvendige rødder.
Den første rod ved 1 / \_0 ° eller / \_360 °. [Hvis jeg laver 3 komplette omdrejninger (360 °) fra (1,0) mod uret (ganget med sig selv tre gange eller i terning), når jeg det samme punkt: 1 / \_0 °. Bemærk også: Hvis jeg laver 3 “ingen omdrejninger” (0 °). Jeg kommer også til det samme punkt!]
For de to andre rødder:
- Startende fra 1 / \_0 °, hvis jeg laver 1/3 (en tredjedel eller 120 °) omdrejning mod uret (en ganget med 1 / \_120 °), når jeg 1 / \_120 °, som er den anden rod. Hvis jeg laver to yderligere 1/3 omdrejninger derfra, når jeg frem til 1 / \_360 ° dvs. 1 / \_ 0 ° igen. (så jeg lavede tre 1/3 eller 120 ° omdrejninger, eller jeg udførte kuber). Derfor er terningen på 1 / \_120 ° også 1.
- Fra 1 / \_0 °, hvis jeg laver 2/3 (240 °) omdrejning, når jeg 1 / \_240 °, som er tredje rod, hvis jeg laver endnu en 2/3 omdrejning, når jeg 1 / \_480 ° dvs. 1 / \_120 ° og med endnu en 2/3 omdrejning, når jeg 1 / \_720 ° dvs. tilbage til 1 / \_0 °. så jeg lavede tre 2/3 eller 240 ° omdrejninger, eller jeg udførte kuber). Derfor er terningen 1 / \_240 ° også 1.
Rødderne er 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. adskilt med 120 ° lige meget på enhedscirklen.
Du kan konvertere værdierne til rektangulær form og se, at svarene er de samme som dem, der gives af andre.
Generelt for at opnå nth root deler vi enhedscirklen i n lige store dele eller lige store indbyrdes vinkler på 360 / n °, og rødderne ligger på cirkelens ydre grænse. Så siden 360/5 = 72 ° er enhedens 5. rødder: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Svar
Lad z sådan z ^ 3 = 1
nøgletrinet, tag ikke terningroten på begge sider, ellers går du glip af 2 rødder. Omskriv ligning snarere som:
z ^ 3–1 = 0
faktor venstre side
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 har 2 komplekse rødder:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)