Bedste svar
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
For x + 2 = 0 har vi x = -2
For x ^ 2-2x + 4 = 0, vi skal løse det med den kvadratiske formel:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Vi får løsningen x = 1 + i \ sqrt {3} og x = 1 – i \ sqrt {3}
Hvis vi taler om reelle tal, -8 har en terningsrod: -2
Hvis vi taler om komplekse tal, har -8 tre terningsrødder: -2, 1 + i \ sqrt {3} og 1 – i \ sqrt { 3}
Svar
Du angiver ikke, om du vil have svaret i en reel sammenhæng eller en kompleks sammenhæng. Der er en reel rod og et par komplekse konjugerede rødder. Du angiver ”terningsrot” i ental. Derfor ser det ud til at være naturligt at overveje tilfældet med en reel kontekst med sin ene virkelige rod og særskilt tilfældet med den primære rod i en kompleks sammenhæng. −2.
I en kompleks sammenhæng er den primære terningrod af −8 1 + i \ sqrt {3}. Dette kan virke underligt, at roden, der er valgt i en reel sammenhæng, ikke også er valgt i en kompleks sammenhæng, selvom den rigtige rod er tilgængelig. Imidlertid er hovedroten i en kompleks sammenhæng den, der er tættest på at være på den positive reelle akse, og hvis to binder for at være tættest, skal du tage den med positiv imaginær del. Kuberoden er ikke en kontinuerlig funktion i det komplekse plan – der er en gren skåret langs den negative reelle akse.