Bedste svar
T\_n (x), den n. Chebyshev Polynom af den første art, opfylder
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Vi er efter T\_ {10} (x). Vi kender de første par:
T\_0 (x) = 1 \ quad fordi \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad fordi \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad fordi \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad fordi \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Vi kan nemt beregne kræfterne for to,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Generelt T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)), der følger ret hurtigt fra \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x) tilfredsstiller gentagelsen
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Da T\_0 (x) og T\_1 (x) har heltalskoefficienter, fortæller gentagelsen os, at alle T\_n (x) har heltalskoefficienter.
Lad os udlede gentagelsen . Vi starter med at bevise en trig identitet, en alternativ sumvinkelformel, der kun bruger cosinus:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nu,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
eller lade x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Nu kan vi beregne T\_ {10} (x) ret let,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Så vi får endelig vores svar,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Svar
Lad x = theta for at gøre min skrivning lettere.
Husk, at multiplikation er gentaget d-tilføjelse.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
En måde at finde cos (10x) er at anvende identitet for cosinus af summen af to vinkler 9 gange sammen med den samme identitet for sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Udskift nu 9x med 8x + x
og anvend derefter identiteterne omhyggeligt igen uden at miste cos (x) og sin (x) allerede i problemet.
Så overalt 8x skal du erstatte det med 7x + x, og anvende identiteterne igen.
Fortsæt … ..
Du vil måske arbejde dig op snarere end nede.
Find cos (3x), derefter cos (4x) osv.
Mens du arbejder, så spørg dig selv, om der muligvis er en hurtigere måde.
Når vi først har en formel for
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
du kan prøve at tænke
af cos (4x) som cos (2x + 2x)
og cos (8x ) som cos (4x + 4x).
Så cos (10x) som cos (8x) + cos (2x).
Du migh t ønsker også at forenkle resultatet for cos (2x) og muligvis bruge en Pythagoras identitet til at holde problemet med kun cosinus uden nogen sines i resultatet.