Bedste svar
Jeg ved hvad du beder om, men lær venligst skrivekonventionerne. Det skal skrives cos (1/2).
For at besvare dit spørgsmål skal du bruge en lommeregner her. Jeg kan ikke beregne dette manuelt. En anden ting er værdien i radian eller grader. Jeg vil give begge dele her. Det er 0,99996 i grader og 0,8775 i radianer.
Svar
En hel del mennesker bliver forstyrrede, når nogen hævder, at 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Jeg er ikke en af disse mennesker, men jeg tror at hvis du begynder at fremsætte et krav som dette, skal du have det meget klart i dit sind, hvad det er at du mener.
Normalt, når du definerer en uendelig sum af elementer a\_n, definerer du den som:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Hvis grænsen findes og har en endelig værdi, siger vi, at den uendelige sum konvergerer , og vi siger, at det er lig med nævnte grænse. Således for eksempel:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Der er dog masser af uendelige summer, som afviger , og vi tildeler typisk ikke dem en værdi. af dette:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {findes ikke.}
Man kan også kontroller at:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
som ikke konvergerer — således er serien 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots er divergerende, så den sædvanlige grænsedefinition tildeler den ikke en værdi.
Der er dog måder, du kan udvide denne definition. Det vil sige, du kan komme på måder at tildele en endelig værdi til divergerende serier, som stadig er enige med de værdier, vi får på den sædvanlige måde for konvergente serier.
Problemet er, at da disse metoder, ved deres natur svarer ikke rigtig til noget fysisk *, så det bedste, vi kan håbe er, at sådanne metoder har gode formelle egenskaber. Specielt vil vi anmode om, at de tilfredsstiller følgende aksiomer:
1.) (Regularitet) Hvis \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n er konvergent, så er summeringsmetoden enig med sædvanlig metode til at tage grænsen.
2.) (Linearitet) Hvis \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A og \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B er summerbare , så har vi \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Hvis r er et reelt tal, så \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilitet) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Disse aksiomer er ret nyttige. For eksempel viser du end nogen opsummeringsmetode, der opfylder disse tre aksiomer, skal evaluere 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, da:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Bemærk, at både linearitet og stabilitet spiller en vigtig rolle i dette bevis. Stabilitet giver os mulighed for at “trække” 1 ud foran, og linearitet giver os mulighed for at faktorere 2.
Enhver sådan summeringsmetode skal også evaluere 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. Beviset er ens:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Der vil dog være divergerende serier, der ikke kan evalueres ved nogen summeringsmetode, der opfylder disse tre aksiomer. Antag for eksempel, at vi kunne tildele en begrænset værdi s til serien 1 + 1 + 1 + \ ldots. Så ville vi have:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Ups. Desværre bliver det endnu værre, fordi det følger af dette, at ingen summeringsmetode, der tilfredsstiller disse tre aksiomer, heller ikke kan evaluere 1 + 2 + 3 + \ ldots, da:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (ved stabilitet) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (efter linearitet)
Så hvis du vil definere en summeringsmetode, der evaluerer 1 + 2 + 3 + \ ldots, skal du enten kaste linearitet eller stabilitet. Der er forskellige tilgange — nogle ofrer den ene, andre ofrer den anden.
Dette er desværre et tegn på, hvordan opsummering af divergerende serier går: du har mange forskellige metoder til at opsummere dem, og de gør ikke altid enig. De er ofte enige om vigtige serier, men hvis du hævder noget som 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, så må du hellere gøre det helt klart, hvilken summeringsmetode du tilfældigvis bruger.
Som talteoretiker er min yndlingsmetode regulering af zeta-funktion. Det grundlæggende eksempel på dette er dette: Overvej Riemann zeta-funktionen \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Denne formel er kun konvergent, hvis den reelle del af s er større end 1.Der er dog en standard måde at udvide Riemann zeta-funktionen til at være en funktion på hele det komplekse plan (ja, du har et par poler, men selvom det er vigtigt, er det et teknisk problem) — dette kaldes analytisk fortsættelse, som du får eksplicit ved at finde en funktionel ligning til zeta-funktionen.
Ved hjælp af analytisk fortsættelse finder du, at \ zeta (-1) = -1/12. Men hvis du “slutter det” til dit originale udtryk for zeta-funktionen, får du:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Sådan fungerer regulering af zeta-funktion: du knytter en zeta-funktion til din serie , og brug derefter analytisk fortsættelse til at knytte en endelig værdi til serien.
Dette er på mange måder et formelt spil, der, selvom det er interessant, sandsynligvis ikke bør tænkes at svare til noget håndgribeligt.
* Ja, jeg er opmærksom på, at divergerende serier og integraler bruges i beregninger i kvantefeltteori. Jeg vil dog hævde, at sådanne metoder er et beregningsværktøj mere end en fysisk fortolkning af, hvad der faktisk foregår. Desuden har vi ikke på dette tidspunkt en matematisk streng model for kvantefeltsteori, så enhver ulige kimære, der ikke burde være, kan endnu tolkes eller fjernes helt.