Bedste svar
Det spørgsmål, du stiller, giver ikke mening. Jeg antager, at det er cos (20 °).
Vi ved hvad der er cos (60 °), og det gode er 60 ° = 3 * 20 °.
Vi ved cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Sæt θ = 20 ° i ovenstående identitet og forudsat at t = cos (20 °) fik vi
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3-6t-1 = 0.
Lad p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 og p (1) = 1, det betyder, at p har tre virkelige rødder hvoraf kun den ene er positiv (som ligger mellem 0 og 1).
Som vi ved er cos (20 °) et positivt tal, så er den positive rod af ovenstående polynom værdien af cos (20 °).
Noget skøn ved hjælp af halveringsmetoden med 2–3 iteration giver dig 0,94.
Så cos (20 °) = 0,94 (ca.)
Svar
Du skal kunne finde det ved hjælp af trig-identiteten: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Jeg antager, at dette stammer fra identiteten: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), men bruges to gange. For at være ærlig kiggede jeg bare op. )
Nu hvor vi ved dette, skal du oprette x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Foretag derefter to udskiftninger. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} og y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Og så med en eller anden manipulation:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Alt der er tilbage er at løse for y. At løse kubik i hånden er smertefuldt , men jeg vil pege på dig her: Hvordan kan jeg løse en ligning af tredje grad? Så vil jeg bøje mine hænder lidt rundt og løse det her: Computational Knowledge Engine
Du får 3 løsninger. Et negativt (ikke korrekt) de to andre er cirka .34 og .64.
Hvilken er det? sin (30) = .5, og fordi vi ved, at sinusfunktionen stiger op til 90 grader, er løsningen ca. 0,34.
Så hvad er den nøjagtige løsning? Ifølge Wolfram Alpha:
Dette skulle give et reelt tal, men jeg er ikke ved at forenkle det rod for dig .
Det er tilstrækkeligt at sige, det kan gøres, men det er ikke overraskende en enorm hovedpine.