Bedste svar
På enhedscirklen er x-koordinaten cos (x).
Tag grænsen, når x nærmer sig 90 grader. Hvad du ser er, at x-koordinaten nærmer sig 0, fordi radius nærmer sig en vinkelret linje (så ingen x-komponent)
Tag den venstre grænse, og den er den samme.
Trekanten bryder naturligvis ned.
Her er et billede til hjælp:
Som du ser, bliver den grå linje (cosx) mindre og mindre.
Det er det. Cos (90) er 0. Det er 90 grader og ikke radianer.
Hvis det er i radianer, er det noget som −0.448073616129.
Svar
Lad mig give dig et mere kompleks svar.
Lad os, \ frac {A} {2} = x.
Så A = 2x
Vi har,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Lad os tage formlen Eulers,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Hvis vi husker denne formel, kan vi forstå det,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), da kun \ sin er en ulige funktion, f (-x) = – f ( x), og \ cos er jævn, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Så ender vi med formlen.
Også for \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Hvor jeg er den imaginære enhed . (i ^ 2 = -1)
Nu kan vi lige uden for hjertet formlen for \ cos (2x), (ved plugin på x med 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Lad os begynde at udlede vores formel.
Startende med \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Vi udvider,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nu, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ gange a ^ c = a ^ {b + c},
(Så, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Lad os nu beregne \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Hvis vi trækker \ sin ^ 2 (\ theta) fra \ cos ^ 2 (\ theta), får vi,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Vi annullerer minusene i nævneren af \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Når vi tilføjer, kan vi annullere -2 + 2 til 0, efter at vi får,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
som er den samme formel for \ cos (2x) som vi diskuterede før. Derfor bevist.
Men vi har en anden ting at gøre. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
som er den samme formel for cos (A)
Så, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Tak for A2A