Hvad er værdien af ​​cos (90)?


Bedste svar

På enhedscirklen er x-koordinaten cos (x).

Tag grænsen, når x nærmer sig 90 grader. Hvad du ser er, at x-koordinaten nærmer sig 0, fordi radius nærmer sig en vinkelret linje (så ingen x-komponent)

Tag den venstre grænse, og den er den samme.

Trekanten bryder naturligvis ned.

Her er et billede til hjælp:

Som du ser, bliver den grå linje (cosx) mindre og mindre.

Det er det. Cos (90) er 0. Det er 90 grader og ikke radianer.

Hvis det er i radianer, er det noget som −0.448073616129.

Svar

Lad mig give dig et mere kompleks svar.

Lad os, \ frac {A} {2} = x.

Så A = 2x

Vi har,

\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)

Lad os tage formlen Eulers,

e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)

Hvis vi husker denne formel, kan vi forstå det,

\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}

e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)

e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), da kun \ sin er en ulige funktion, f (-x) = – f ( x), og \ cos er jævn, f (-x) = f (x)

e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)

= 2 \ cos (\ theta)

\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)

Så ender vi med formlen.

Også for \ sin,

\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}

e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)

-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)

e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))

= 2i \ sin (\ theta)

\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)

Hvor jeg er den imaginære enhed . (i ^ 2 = -1)

Nu kan vi lige uden for hjertet formlen for \ cos (2x), (ved plugin på x med 2x)

\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}

Lad os begynde at udlede vores formel.

Startende med \ cos ^ 2 (x),

\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}

Vi udvider,

\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}

Nu, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ gange a ^ c = a ^ {b + c},

(Så, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}

Lad os nu beregne \ sin ^ 2 (x)

\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}

Hvis vi trækker \ sin ^ 2 (\ theta) fra \ cos ^ 2 (\ theta), får vi,

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}

Vi annullerer minusene i nævneren af ​​\ sin ^ 2 (\ theta),

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}

Når vi tilføjer, kan vi annullere -2 + 2 til 0, efter at vi får,

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}

\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}

\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}

\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}

som er den samme formel for \ cos (2x) som vi diskuterede før. Derfor bevist.

Men vi har en anden ting at gøre. Plugin, 2x = A,

\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}

som er den samme formel for cos (A)

Så, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)

Tak for A2A

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *