Bedste svar
Det er fristende at skrive
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Så skriver vi måske
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Det gør summen:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Jeg kan ikke lide dette så meget for et par grunde. Først ignorerer det spørgsmålet om, hvor mange værdier \ sqrt {i} har.
Vi har defineret den radikale, der anvendes på et reelt tal som hovedværdien, så y = \ sqrt {x} er en funktion . Hovedværdien af en kompleks kvadratrod er mere kompleks (en regel som mindst ikke-negativ vinkel) og fungerer ikke så godt.
Min opfattelse er den bedste politik er at sige, at vi har to kvadratrødder . \ sqrt {i} er flere værdier, det samme som i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Det andet problem, jeg har med den eksponentielle formulering, er det øjeblikkelige spring til polære koordinater. Vi tager automatisk en snoet rute, der involverer transcendentale funktioner og deres inverser. Kvadratroden af et komplekst tal kræver det ikke. Vi kan kontrollere
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
hvor vi har brug for en ikke-standard \ textrm {sgn} (0) = + 1.
Vi har a = 0, b = 1 således
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Ingen nødvendige trig-funktioner. Tilsvarende giver a = 0, b = -1
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Summen synes at have fire mulige værdier:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Lad os udarbejde værdierne for parentes.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
så vi har faktisk fire værdier, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Vi kan skrive dette som
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
Der er et andet problem at overveje. Nogle gange når vi skriver udtryk, der ser ud til at være konjugater, menes det, at når flere værdier overvejes, opretholdes konjugatforholdet. Et eksempel er den deprimerede kubik:
x ^ 3 + 3px = 2q har løsninger
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Hver af disse terninger har tre værdier i forhold til de komplekse tal. Men selve kubikken har kun tre løsninger. Så selvom vi måske bliver fristet til at fortolke dette udtryk som ni forskellige værdier, ved vi, at det kun er meningen, at det skal være tre. De to terningsrødder er beregnet til at være konjugater, så de skal parres som sådan.
I denne fortolkning tilføjer vi altid konjugater, så vi får bare de rigtige løsninger:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} eller (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } som er \ pm \ sqrt {2}.
Hvis vi til sidst fortolker radikalet som hovedværdi, får vi \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} i første kvadrant, og vi skal vælge mellem anden og fjerde kvadrant til hovedværdien af \ sqrt {-i}. Reglen om “mindst positiv vinkel” antyder den anden kvadrant, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} så
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Bit af et rod, alle disse forskellige fortolkninger.
Svar
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {og} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega er den tredje rod af enheden: z ^ 3 = 1.
Rødderne til denne ligning er: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Vi har: u ^ 3 = 2 + 2i og (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Så:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {med} \; k \ i {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
Så:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Vi opnår:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ tekst {eller} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ tekst {eller} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3