Bedste svar
Hvis du ikke troller, antager jeg, at du vil have den nøjagtige værdi af \ sin 38. (Hvorfor? Hvem ved.) Jeg vil beskrive, hvordan man når frem til den nøjagtige værdi. Vi bruger to påstande. Hvis vi kender den nøjagtige værdi af \ sin x, kan vi beregne den nøjagtige værdi af \ sin nx for alle heltal n. Hvis vi kender den nøjagtige værdi af \ sin x, så kan vi beregne den nøjagtige værdi af \ sin \ frac {x} {3}.
Ovenstående betyder, at hvis vi skulle finde \ sin 1, så kunne vi finde \ sin N for ethvert heltal N.
Så vi beviser påstandene:
Påstand 1 : Hvis vi kender den nøjagtige værdi af \ sin x, så kan vi finde den nøjagtige værdi af \ sin nx for positivt heltal n. (De negative værdier følger).
Bevis : Vi bruger induktion på n. Påstanden er åbenbart sand for n = 1. Før du fortsætter, skal du være opmærksom på, at viden om \ sinx indebærer kendskab til \ cos x. Nu er \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x, og vi er færdige.
Påstand 2 : Hvis vi kender den nøjagtige værdi af \ sin x, kan vi finde den nøjagtige værdi af \ sin \ frac {x} {3}.
Bevis : Denne er mere interessant. Lad argumentet være \ sin \ frac {x} {3} = a. Nu \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} eller 4a ^ 3-3a + \ sin x = 0 hvor vi kender \ sin x. Da dette er en kubik, kan det løses nøjagtigt.
Vi kender \ sin 36 og \ sin 30, så vi kender \ sin 6 og dermed \ sin 3 og endelig \ sin 1.
Svar
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0,2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^) 2)) / 2) -0.2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 det går.