Bedste svar
Hvis vi ikke ønsker at bruge de trigonometriske tabeller, kan vi få en omtrentlig værdi på \ tan 27 ^ o ved hjælp af Taylor-udvidelsen af \ tan x.
Taylor-serien for en reel eller kompleks værdiansat funktion f (x), der er uendelig differentierbar ved et reelt eller komplekst tal a, er givet ved
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, hvor f ^ {(n)} (a) er værdien af n ^ {th} -derivatet ved x = a.
Bemærk, at vinklen skal udtrykkes i radianer.
Lad f (x) = \ tan x og a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radianer.
\ Rightarrow \ qquad f “(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3}, og
\ qquad f “” (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Vi vil have værdien af \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Derefter bruger vi kun de to første udtryk i Taylor-serien, ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
Fejlen i denne værdi er -0.3902 \\%.
Brug kun de første tre termer af Taylor-serien får vi,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f “(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f “” (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
Fejlen i denne værdi er -0.1831 \\%.
Hvis vi ønsker større nøjagtighed, kan vi bruge flere udtryk.