Bedste svar
Det er givet, at
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ gange x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nu er værdien af x ^ 2 vil være – \ omega og – \ omega ^ 2
Hvor
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Og
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Lad os tage x ^ 2 bliver – \ omega
Nu er det givne udtryk \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Husk nu \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Så
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ gange {\ omega}) + (1 \ gange {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Så svaret er 0
============================================= ================== ===
Kan du lide mit svar? Ønsker du at læse mere skriftligt som de ting, du har haft ovenfor? Følg mig og afstem dette svar.
Svar
Dette problem er ret enklere, end det ser ud i starten, og det er en lektion i, hvor nyttigt det kan være at lede efter – og derefter at udnytte – symmetri. Problemet kræver ingen beregning at løse, selvom hvis du kender nogle beregninger, fungerer denne tilgang meget godt. Nøglen til en løsning uden beregning er at observere, at hvis den samme værdi minimerer g (x) og h (x), minimerer den også g (x) + h (x). Kan du se, hvorfor dette er sandt?
Hvordan kan vi anvende denne idé på dette problem?
Overvej g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Denne funktion er symmetrisk omkring x = 3,5 – halvvejs mellem +3 og +4-værdierne, der føjes til x – da vi kan skrive det som g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3.5) +0.5) ^ 4. Ved at lade y = x + 3,5 antyder denne symmetri, at g (y) skal være et jævnt polynom, hvorfor det indeholder udtryk med kun jævn magt af y. Da det er et jævnt polynom, fortæller binomial sætningen os, at alle dets koefficienter skal være positive. (Faktisk er det g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, men vi behøver ikke engang at finde disse tre udtryk eksplicit for at afslutte argumentet.) Da y = 0 minimerer det klart hver af summanderne af g (y) individuelt, da hver er en jævn effekt af y med positiv koefficient, indebærer vores indledende observation, at y = 0 også skal minimere g. Så vi har opdaget, at x = -3,5 er den unikke minimizer af g (x).
Overvej derefter h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Denne funktion er lidt enklere end g, da den er kvadratisk, og et næsten identisk argument indebærer, at x = 3.5 også er den unikke minimizer af h (x). Udnyt symmetrien til at skrive den som h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Bemærk derefter, at h (y) er et jævnt polynom (har derfor kun lige kræfter af y), og brug binomial sætningen til at konkludere, at den kun har positive koefficienter. Faktisk er h (y) = 2y ^ 2 + 24.5, men igen behøver vi ikke finde det eksplicit. Da y = 0 minimerer alle termer, der tilføjes for at producere h (y), ved vi, at y = 0 minimerer h (y), og vi konkluderer, at x = -3,5 er den unikke minimering af h (x).
Endelig, da x = -3,5 er den unikke minimizer for både g (x) og h (x), er det den unikke minimizer af deres sum, og problemet er løst.