Bedste svar
Lad os tælle forekomsten af ciffer 2 først i 1 til 10. Der er kun 1 der, nemlig for tallet 2.
Derefter skal du tage de næste ti tal og tælle forekomsten af cifferet 2 i dem, og vi får 2, nemlig i tallene 12 og 20.
På samme måde forekommer det 10 gange i tallene 21 til 30, som det forekommer to gange i 22.
Fortsætter vi på samme måde for de følgende tal op til og inklusive 120, vi find ud af, at den eksisterer en gang hver ti tal plus en gang til, i alt 10.
Mellem 121 og 130 forekommer det igen 10 gange, da det igen forekommer to gange i 122.
Fra 131 til 190 vises ciffer 2 en gang hver 10 tal, i alt 6.
Og i de sidste ti tal (191-200) forekommer det to gange.
Tilføjelse af alle forekomster sammen vi finder, at cifferet 2 forekommer 41 gange, nemlig i tallene 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 og 200.
Svar
Jeg viser dig to regler, der kan være mange.
Mellem dem er den første let og den anden mere matematisk og videnskabelig:
Process 1:
Hvis vi gør n ^ 5, kommer resultatet sidste resultat altid det samme som det sidste ciffer i n.
Hvis vi nu tilføjer (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Det sidste ciffer kommer som det sidste ciffer i tilføjelsen (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Nu,
Det sidste ciffer i tilføjelsen (1 + 2 + 3 + … .. + 99)
= Det sidste ciffer i \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Det sidste ciffer i \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Så det sidste ciffer i tilføjelsen
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) vil være Nul.
Process 2:
Det ved vi,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Så for (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Svaret bliver,
161708332500
Så det sidste ciffer er nul .
PS: Vi ved, at 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a er skrevet matematisk som \ Sigma n ^ a. Den generelle formel for effektsummen er kendt som Faulhabers formel (også kendt som Bernoullis formel):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ understregning {k-1} n ^ {p-k + 1}
hvor, \ textbf {p} ^ \ understregning {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} kaldes en faldende faktor og B\_ {k} er Bernoulli-numrene.
Ved hjælp af denne formel kan vi udlede en hvilken som helst specifik formel for magt sum, som det er angivet nedenfor:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Tak fordi du læste mit svar. Håber det hjælper.