Bedste svar
Hvis jeg prøver at tilslutte dette til min lommeregner, får jeg noget i videnskabelig notation, fordi svaret er for stort til, at lommeregneren kan vises. I praksis viser lommeregneren mig begyndelsen på nummeret, og jeg er kun interesseret i slutningen af nummeret.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Jeg ved, at et tal får et nul i slutningen af det, hvis tallet har 10 som faktor. For eksempel er 10 en faktor på 50, 120 og 1234567890. Så jeg er nødt til at finde ud af, hvordan 10 når som helst er en faktor i udvidelsen på 200 !.
Men da 5 × 2 = 10, jeg skal tage højde for alle produkterne fra 5 og 2. Når man ser på faktorerne i ovenstående udvidelse, er der mange flere tal, der er multipla af
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
end er multipla af
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Det vil sige, hvis jeg tager alle tallene med 5 som en faktor, vil jeg have mere end nok lige tal til at parre med dem for at få faktorer på 10 (og en anden efterfølgende nul på min faktor). Så at finde antallet af gange 10 er en faktor, alt hvad jeg virkelig har brug for at bekymre mig om er, hvor mange gange 5 er en faktor i alle tallene mellem 1 og 200.
Okay, hvor mange multipla af 5 er der i tallene fra 1 til 200? Der er “s 5, 10, 15, 20, 25, …
Åh, pokker; lad os gøre det på den korte måde: 200 ÷ 5 = 40 , så der er fyrre multipler af 5 mellem 1 og 200.
Så vil svaret være 40 .
Men vent: 25 er 5 × 5, så hvert multiplum af 25 har en ekstra faktor af 5 som jeg skal redegøre for. Hvor mange multipler af 25 er mellem 1 og 200?
Da 200 ÷ 25 = 8 , der er otte multipla af 25 mellem 1 og 200.
Og vent et øjeblik, der er også 125, hvilket er 5x5x5. Så vi er nødt til at tilføje 1 til antallet af nuller.
Så nu er det samlede antal nuller = 40 + 8 + 1, betyder 49.
Så i 200! der er 49 efterfølgende nuller. Og kontroller det ikke ved hjælp af lommeregner, da lommeregner ikke kan gøre det.
Svar
Efterfølgende nuller er en sekvens på 0 “s i decimalrepræsentationen af et tal efter som ingen andre cifre følger. Det kan løses på to måder –
- Lad os se på, hvordan efterfølgende nuller dannes i første omgang. Et efterfølgende nul dannes, når et multiplum på 5 ganges med et multiplum af 2. Nu skal vi kun tælle antallet af 5er og 2er i multiplikationen.
Hvert par på 2 og 5 vil medføre et efterfølgende nul. Da vi kun har 24 5er, kan vi kun lave 24 par på 2 og 5er, så antallet af efterfølgende nuller i 100 faktor er 24 .
2. Spørgsmålet kan også besvares ved hjælp af den enkle formel nedenfor:
Ovenstående formel giver os det nøjagtige antal 5s i n! fordi det tager sig af alle multipla af 5 w der er mindre end n. Ikke kun at det tager sig af alle multipla af 25, 125 osv. (Højere kræfter på 5).
Tip: I stedet for at dividere med 25, 125 osv. (højere beføjelser på 5); det ville være meget hurtigere, hvis du dividerede med 5 rekursivt.
Lad os bruge dette til at løse et par eksempler:
Q) Hvad er antallet af efterfølgende nuller i 100! ?
[100/5] = 20
Nu kan vi enten dele 100 med 25 eller resultatet i ovenstående trin, dvs. 20 ved 5.
[ 20/5] = 4. Det er mindre end 5, så vi stopper her.
Svaret er – 20+ 4 = 24 (direkte svar på få sekunder)
Q) Hvad er antallet af efterfølgende nuller i 200! ?
[200/5] = 40
Nu kan vi enten dele 200 med 25 eller resultatet i ovenstående trin, dvs. 40 ved 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Det er mindre end 5, så vi stopper her.
Svaret er – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Hvad er antallet af efterfølgende nuller i 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Det er mindre end 5, så vi stopper her.
Svaret er – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Hvis du har spørgsmål, er du velkommen til at stille i kommentarsektionen.