Bedste svar
Jeg kan forstå, at du ønsker et svar her. Traditionelt er fold værdien af en ting; ergo er en enkelt stigning 100\%. Dette skaber imidlertid forvirring, da de fleste mennesker anser en dobbelt interesse for at være dobbelt værdien (200\%) af en ting – den populære definition. Selv Collins ordbog for matematik definerer “-fold” til at betyde “gange”, som i “dobbeltfoldighed” svarer til “to gange”, hvilket er lig med dobbelt. Nogle forskere bruger “fold” for at være synonymt med det matematiske udtryk ” gange, “som i” tre gange større “betyder” tre gange større. ” Andre insisterer dog på at bruge ”fold” traditionelt til at beskrive den samlede værdi af en ting; således, “60 er en gang større end 30.”
Jeg er sikker på, at dette ikke gør det nemmere for dig at beslutte – den populære version over den mere traditionelle brug – men for at undgå fejlagtighed i daglig brug vil du måske holde fast i den populære definition.
Svar
Interessant spørgsmål. Lad os opdele det.
- Hvorfor beregnes determinanter ?
Helt ærligt er der ikke en eneste grund på jorden, hvorfor du skal beregne en determinant, undtagen når den bliver spurgt i en lineær algebra-test. Determinanter bruges i eksistensen bevis for en løsning til et sæt lineære ligninger med formen Ax = b, hvor determinanter spiller en vigtig rolle. Cramers regel – Wikipedia
Dette har ført mange misviste sjæl til den konklusion, at denne regel er en god måde at beregne løsningen på. Det er det ikke. Lad mig forklare hvorfor.
2. Hvorfor beregnes determinanter, som de beregnes
Det første du lærer i lineær algebra 101 er at udvide en determinant langs en række eller kolonne, som kan formuleres rekursivt som
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
hvor A\_ {kj } er den submatrix, du får ved at kassere den k-række og den j-kolonne af A. Dette er OK, hvis din matrix er 3 \ times3 eller 4 \ gange 4, bliver kedelig, når n = 5 og kan fortrydes for større n . Men vi har computere, ikke? Okay. Lad os gøre dette videnskabeligt og foretage en operationstælling. Lad T\_n være antallet af operationer, der skal beregnes n \ gange n determinant på denne måde. I en lineær algebra-sammenhæng er “operation” en multiplikation efterfulgt af en tilføjelse. Så tydeligt
T\_n = nT\_ {n-1}
Hej! Ringer det ikke en klokke? Ja, dette er fakultetsfunktionen og T\_n = n !. Hvis vi nu havde en computer, der kan udføre 10 ^ {20} operationer pr. Sekund, hvilket muligvis bare kan ske, hvis kvantecomputere bliver funktionsdygtige, og vi skulle beregne en 100×100 determinant ved række- eller kolonneudvidelse, ville vi have brug for
100! = 9.3326E157
handlinger. Og 100 \ times100 er ikke overdreven, industrielle applikationer kommer ofte i millioner. Nu har et år 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 sekunder, så vi kan ikke udføre mere end 3.2E27 operationer om året, hvilket kun er en dråbe i havet på 9.3E157. Mere specifikt har vi brug for 3E130 år, og i betragtning af det faktum, at universets estimerede alder er 13.8E9 (6E3, hvis du er en kreationist) år, er vi et par år korte.
Konklusion: dette er ikke en god måde at beregne en determinant på.
Og for at beregne en løsning efter Cramers regel skal du beregne 101 determinanter. Cramers regel overhovedet ikke r00l! Det er af teoretisk, ikke af praktisk værdi.
Derfor skal du bruge en LU-nedbrydning ( LU-nedbrydning – Wikipedia ) til at beregne en determinant, og som en ekstra fordel giver den dig også løsningen på dit system Ax = b. Operationsantalet for LU er \ frac13n ^ 3. For at få en determinant ud fra, at du multiplicerer alle diagonale elementer i U. (\ cal O (n)). For at få løsningen på dit system kræver Ax = b yderligere n ^ 2-operationer. Så alt i alt ville det kræve 3.34E5-operationer, og vi ville være klar på et øjeblik ^ {- 14} sekunder.
Sheldon Axler skrev en lineær algebra-tekst, der ikke bruger nogen determinanter https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
og jeg er sikker på, at Alon Amit (“matricer sutter, operatørstyre”) ville godkende.