Hvordan forstås ∫udv = uv-∫vdu? Fortolker jeg det som en omvendt produktregel


Bedste svar

Lad os starte med produktreglen.

Eksempel: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Hvordan kom jeg derhen? Produktreglen er: Når y = uv, uv er to forskellige funktioner ganget sammen – i dette tilfælde sinus og cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Så i ovenstående eksempel dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 eller (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Reglen for omvendt produkt er bare det modsatte, ligesom integration er det modsatte / modsatte af differentiering.

Så fra dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Lad os integrere alt! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

At differentiere y bliver dy / dx, så integrering går tilbage til y. Derfor er y = ∫u dv + ∫v du

Da vi ved, at y = uv (se ovenfor) uv = ∫u dv + ∫v du

Så omarrangerer vi bare ligning som sådan:

∫u dv = uv – duv du Done.

Jeg forstår det heller ikke fuldt ud, men det er så godt jeg kan for at forklare, hvordan man udlede det.

Svar

Her er en måde at tænke på det: ∫udv integreres langs v-aksen. Det beregner arealet under u-kurven mod v.

∫vdu integreres langs u-aksen. Det beregner arealet til venstre for v-kurven mod u.

Sæt de to sammen, og du får en firkant: hele området mellem u- og v-akserne. Det samlede areal er produktet af de to: uv. For at opsummere får du:

∫v du + ∫u dv = uv

Derfra kan du let udlede formlen. Det er også let at visualisere.

Kilde: Sigma MathNet

Dette er en overforenkling af ideen, som er mere generel end denne, men dette er en almindelig forklaring (og undertiden behandles som et uformelt bevis). For lidt mere diskussion se Forklar dette bevis uden ord for integration af dele til mig .

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *