Bedste svar
Der er to måder at fortælle om en matrix (og derved ligningssystemet, som matrixen repræsenterer ) har en unik løsning eller ej.
a. Cramers Method.
Konverter ligningssystemet til matrixform AX = B, hvor A = Co-effektivitetsmatrix, X = Variabelmatrix og B = resultatmatrix.
Navngiv Co-efficients-matrixen som D. For en 3 x 3-matrix skal du udskifte 1., 2. og 3. kolonne i D-matrixen med resultaterne Kolonnematrix for at få matricer Dx, Dy og Dz.
- Hvis D ikke er lig med 0, og hvis mindst en af Dx, Dy og Dz ikke er lig med 0, er ligningssystemet konsekvent og har en unik løsning.
- Hvis D = 0, og hvis Dx, Dy og Dz = 0, men hvis mindst en af bestanddelene i den koeffektive matrix (aij) eller mindst en af de 2 x 2 mindreårige ikke er lig med 0, er ligningssystemet konsekvent og har uendeligt mange løsninger.
- Hvis D = 0 og mindst en af Dx, Dy og Dz ikke er nul, er ligningssystemet inkonsekvent (Ingen løsning).
Ligningssystemet giver således kun en unik løsning, når værdien af Determinant er ikke lig med nul.
b. Rangmetode
Skriv ligningssystemet ned i matrixformat AX = B hvor A = Co-efficients Matrix, X = Variabelmatrix og B = Resultatmatrix.
Find rangeringen af matrixen A.
Skriv den forstærkede matrix [A, B]
Find rangeringen af den augmented matrix [A, B]
- 1. Hvis matrixens rang A ikke er lig med den forstærkede matrixs rang, er ligningssystemet inkonsekvent og har ingen løsning.
- Hvis begge matricers rang er lig og lig med antallet af ukendte variabler i systemet, og hvis matrixen A ikke er ental, er ligningssystemet konsistent og har en unik løsning.
- Hvis begge matricers rang er lig, men hvis rangen er mindre end antallet af ukendte, så er ligningssystemet konsistent og har uendeligt mange løsninger. Så der er kun tre muligheder – inkonsekvent og ingen løsning, i overensstemmelse med unik løsning, i overensstemmelse med uendeligt mange løsninger.
Så systemudbyttet en unik løsning kun når rangen for Co-efficients matrix = Rang for den forstærkede matrix = Antal ukendte.
Svar
Teori fortæller dig, at Ax = b har en unik løsning, hvis \ det (A) \ neq0 og ellers har den ingen løsning eller uendeligt mange. Matricen kaldes ental i så fald
Øvelse fortæller dig dog, at dette næsten aldrig sker. Så hvert sæt ligninger kan løses? Ja og nej. Hvis matrixen er næsten ental, kan du få en løsning, men det vil ikke være meningsfuldt. Årsagen er, at små udsving i højre side kan forårsage enorme udsving (i flere størrelsesordener) i løsningen. Systemet kaldes dårligt betinget i så fald. Dette er en dårlig ting, fordi du i løbet af beregningerne kan miste betydelige cifre på grund af subtraktion af næsten lige store mængder ..
Hvordan kan du fortælle det? betingelsesnummer \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | er den teoretiske foranstaltning. Den bedste værdi er 1, jo større er værre. Men det er ikke så let at beregne. En praktisk måde at gøre det på er at tage en lille tilfældig forstyrrelse af din højre side og sammenligne de to løsninger. Hvis de adskiller sig markant, har du et dårligt konditioneret system.