Bedste svar
Ja, det er Monty Hall-problemet i forklædning. “Skift” i dette problem er bare en måde at understrege, at den ene sandsynlighed er anderledes end den anden. I dette problem vil du hellere have døren, som værten kunne have åbnet, men ikke gjorde. Her vil du hellere være den fange, som vagten kunne have navngivet, men ikke gjorde. Samme ting.
A er forkert. Han tror, at han kun lærte information om B, og intet om A eller C. Men han lærte noget om C: Fogden kunne have navngivet ham, men gjorde det ikke t. På grund af møntklappen ville 50\% af den tid, hvor A ville have fået benådning, have opsamlingschefen navngivet C. Men han ville navngive B 100\% af den tid, hvor C ville være blevet benådet. Dette forhold – 50\% til 100\% – er det, der gør det nu dobbelt så sandsynligt, at C vil blive benådet.
Historisk side: Det problem, du citerede var oprindeligt udgivet i oktober (jeg tror) 1959-udgaven af Scientific American af Martin Gardner. I samme nummer undskyldte han for at få det forkerte svar på dette spørgsmål:
- Mr. Smith har to børn. Mindst en af dem er en dreng. Hvad er sandsynligheden for, at begge børn er drenge?
Han havde oprindeligt sagt, at svaret var 1/3. Men det præsenterede spørgsmål er tvetydigt; det afhænger af, hvordan du lærte, at mindst et barn var en dreng.
Hvis det var fordi du spurgte “Er mindst en dreng? ”, så er 1/3 korrekt. Men hvis det kun var en tilfældig kendsgerning, du lærte, hvilket betyder at du også kunne have lært “mindst en er en pige”, så er svaret 1/2.
Og faktisk er Two Child-problemet kun en variation af Three Prisoners Problem med fire fanger i stedet for tre, eller Monty Hall Problem med fire døre. Gardner stillede de tre fanger for at afklare, hvordan disse problemer fungerer, og inkluderede delen om møntklap specifikt for at vise, hvordan det er den proces, hvor du har fået informationen, ikke informationen alene, der bestemmer svaret.
Svar
Problemet med de tre fanger kan lettere forstås, hvis vi holder os til betingede sandsynligheder snarere end posteriore sandsynligheder.
Så tre fanger A, B, C er på dødsrækken, og en af dem er blevet benådet baseret på et tilfældigt spil. Fange A beder fogten om i det mindste at afsløre navnet på en af de andre fanger, der ikke er benådet.
Ved at stille dette spørgsmål har A oprettet to grupper.
- Gruppe I – involverer A alene.
- Gruppe II – involverer B og C.
Svarende til disse to grupper er der to begivenheder:
- En person fra gruppe I er benådet. (A alene).
- En person fra gruppe II er benådet (B eller C).
Da begge disse begivenheder er ikke-sandsynlige, sandsynligheden for begge begivenheder er \ frac {1} {2}. Inden for den anden gruppe er sandsynligheden for, at enten B eller C vælges igen \ frac {1} {2}.
Præsten betegner nu B som fangen, der ikke er benådet.
Da fogden ikke har sagt noget om fange C, betyder det, at sandsynligheden for, at den anden begivenhed (nogen bliver benådet fra gruppen, der involverer B og C) stadig er den samme – \ frac {1} {2}.
Men da B er elimineret betyder det, at sandsynligheden for, at C bliver benådet fra gruppe II, nu steget fra \ frac {1} {2} til 1 !!! Det er hans chance for at få benådning er fordoblet !!!
På den anden side af samme ræsonnement, da fogden ikke har sagt noget om fange A, sandsynligheden for den første begivenhed (nogen, der bliver benådet fra den første gruppe) er stadig den samme – \ frac {1} {2}.
Så fange As spørgsmål giver A ingen nye oplysninger om hans skæbne. På den anden side ved fange C (som A har givet denne information) nu, at hans chancer for at få benådning er fordoblet.
Dette er alt hvad du behøver at vide for at forstå essensen af de tre fanger. Problem. Hvis du dog ønsker at bekræfte din intuition ved hjælp af Bayes formel. Du kan gøre det som vist nedenfor:
Bayes Formulation of the Three Prisoners Problem
Lad A, B og C være de begivenheder, der svarer til, at fanger A, B og C bliver frigivet henholdsvis.Og lad b være den begivenhed, som fogden fortæller A, at fangen B skal henrettes, så er den bageste sandsynlighed for, at A bliver benådet, ved hjælp af Bayes sætning:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Sandsynligheden for C der på den anden side er benådet:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ gange \ tfrac13} {\ tfrac12 \ gange \ tfrac13 + 0 \ gange \ tfrac13 + 1 \ gange \ tfrac13} = \ tfrac23
Således forbliver den bageste sandsynlighed for, at A bliver benådet den samme som apriori-sandsynligheden (\ frac {1} {3}), mens den for at blive benådet C fordobles.
Du kan se effekten af de betingede sandsynligheder på de bageste sandsynligheder i udtrykket P (b | A) (\ frac {1} {2}) og P (C | b) (1).