Bedste svar
Sådan kommer jeg til at komme med en omtrentlig løsning:
Værdien af x skal være i intervallet [-1,1] som uden for det interval x ^ 2> 1, der ligger uden for området \ sin {x}. Det kan begrænses yderligere til intervallet [0,1] som når -1 \ le x , \ sin {x} <0 mens x ^ 2> 0. Inden for intervallet [0,1] findes der en triviel løsning for x = 0.
For x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } hvorimod x ^ 2 <\ frac {1} {2}. Da vi for meget større x tydeligt har x ^ 2> \ sin {x}, skal der eksistere mindst en løsning i intervallet (0,1]. Desuden har \ sin {x} på dette interval et negativt andet derivat, mens x ^ 2 har et positivt andet derivat, så der er højst en løsning i intervallet (0,1]. Når kurven på x ^ 2 overhaler den for \ sin {x}, kan den ikke krydse tilbage igen.
Så der er nøjagtigt en løsning i (0,1]. For at estimere denne løsning skal du bruge de to første udtryk i Taylor-serien til sinusfunktionen for at få x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Dette reduceres til x ^ 2 + 6x-6 = 0 eller x = \ sqrt {15} -3 som den omtrentlige løsning. Til seks decimaler, \ sqrt {15} -3 \ ca. 0,872983.
Til sammenligning giver en numerisk tilnærmelse løsningen til seks decimaler som x = 0,876726. Så vores tilnærmelse med kun to udtryk i Taylor-serien var ret tæt, men ikke perfekt.
Svar
For et spørgsmål som dette er det typisk en god idé at tegne funktioner for at få en idé om, hvordan de opfører sig. Ume, du vil have svar på rigtige tal.
Vi kan tilføje 2x til begge sider og derefter dele med 2 for at få x = 1,3 \ sin (x). Sinusfunktionen er afgrænset mellem -1 og 1, så vi skal kun beskæftige os med værdier på x mellem -1,3 og 1,3. Grafen y = x er bare en lige linje. Grafen y = 1.3 \ sin (x) skråner opad mellem -1,3 og 1,3, fordi 1,3 er mindre end en ret vinkel, og sinus stiger fra – \ pi / 2 til \ pi / 2.
Hvis du kender noget beregning, ved du, at den hastighed, hvormed 1.3 \ sin (x) stiger, er givet med 1.3 \ cos (x). Denne forandringshastighed stiger derefter igen (hvilket kaldes et bøjningspunkt). Grafen for y = 1.3 \ sin (x) er konkave op fra -1,3 til 0 og derefter konkave op fra 0 til 1,3. Det er relativt let at få øje på, at x = 0 er en løsning. Fordi hældningen på y = 1.3 \ sin (x) er større end hældningen på y = x på det tidspunkt, krydser den nedenfra til ovenover der. Nu på dette tidspunkt besluttede jeg, at jeg skulle finde ud af værdien af 1.3 \ sin (1.3). Husk naturligvis, at sinusfunktionen gælder for vinkler angivet i radianer. Det er mindre end 1.3.
På dette tidspunkt kan du udlede karakteren af situationen. De to funktioner krydser hinanden tre gange fra -1,3 til 1,3. Kald den positive løsning c. På grund af symmetri (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) er den negative opløsning -c. Konkaverheden på 1.3 \ sin (x) forhindrer, at der er andre løsninger. Så alt der er tilbage er at finde ud af, hvad c er.
Det, som nogle studerende finder underligt, er at der ofte ikke er nogen “lukket form” for løsningen af en ligning som denne. Vi kan fortælle, at der er en løsning mellem 0 og 1.3, men jeg tror i dette tilfælde, at vi ikke har en formel for det med hensyn til velkendte funktioner. Så hvis du vil håndtere det, skal du beslutte, hvad du har brug for at vide om det.
Hvis du vil beregne det med en vis nøjagtighed, er der et par metoder. Der er en naiv tilgang, der fungerer i dette tilfælde. Hvis du tager en værdi på x mellem 0 og 1.3, hvis den er mindre end løsningen, er 1.3 \ sin (x) større, og hvis den er større end løsningen, er 1.3 \ sin (x) mindre. Så hvis du fortsætter med at erstatte din værdi på x med 1.3 \ sin (x), nærmer den sig roden. Så sig, at jeg starter med x = 1.0. Derefter 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … så brug det som værdien af x næste. Denne proces konvergerer med løsningen, men ikke meget hurtigt, fordi hvert trin kun bringer værdien noget tættere på løsningen.
En anden metode er at opdele intervallet. Så vi kunne prøve at evaluere 1.3 \ sin (1.1) og 1.3 \ sin (1.2) for at få den første decimal i løsningen. Da 1.3 \ sin (1.1) <1.1 mens 1.3 \ sin (1.2)> 1.2 ser det ud til, at roden er mellem 1.1 og 1.2. Derefter kan vi prøve 1.3 \ sin (1.15) for at se, om løsningen er mindre eller større end 1,15. Denne metode konvergerer heller ikke så hurtigt, selvom den fungerer godt i nogle situationer, hvor den første metode ikke gør det.
Der er nogle andre metoder ( Root- finde algoritme – Wikipedia ) især secant-metoden og Newtons metode. De konvergerer hurtigere.
Secant-metoden holder to tilnærmelser på hver side, for eksempel 1.1 og 1.2. Derefter foregiver vi, at graferne er begge lige linjer for at få en omtrentlig løsning. Beregningen er ikke helt så enkel, selvom det ikke rigtig er involveret.
Newtons iteration har, at du trækker en tangentlinie til kurven for at tilnærme sig, hvor de to kurver krydser, og derefter gentage. Hvis du starter med en værdi, der er tæt nok på roden, konvergerer den generelt rimeligt hurtigt.Antallet af nøjagtighedscifre fordobles generelt med hvert trin (selvom det synes usandsynligt, at nogen vil have mange cifre med præcision til roden).