Hvordan ville vi bevise, at 0 = n vælg 0 – n vælg 1 + n vælg 2 – n vælg 3 + … osv?

Bedste svar

Udtrykket i det indsendte spørgsmålet er ikke helt korrekt.

Binomial sætning

(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}

holder for alle komplekse tal x og y og ikke-negative heltal n .

Lad x = 1 og y = -1. Så på højre side har du de ønskede alternerende forskelle og sum af kombinationer (hvad du omtalte som vælg s). På venstre side har du 0 ^ n, som du tilsyneladende antager at være 0. Binomial sætningen, som nævnt ovenfor, gælder dog for alle ikke-negative heltal n , som inkluderer 0, i hvilket tilfælde venstre side er 0 ^ 0 = 1 – en sag, du ikke tillod.

Hvis du ikke tror på mig, så prøv denne trivielle øvelse: Skriv de første par rækker af Pascals trekant ud. Formlen “vælg” i det indsendte spørgsmål svarer til at vælge en hvilken som helst række, og start ved det venstre element (som altid er 1, uanset hvilken række du vælger), og træk derefter det næste element til højre og fortsæt med at skifte mellem at tilføje og trække alle elementerne i den række. Bemærk, at med rækken, der indeholder 1 1, og rækken, der indeholder 1 2 1, og rækken, der indeholder 1 3 3 1, alle giver 0 med denne proces. Hvad sker der dog på den øverste række, der kun indeholder 1? Vi starter med det 1 og forbereder os på at trække det næste element, men der er ikke det næste element, så vi er allerede færdige med resultatet 1, ikke 0. Der er intet behov for at udelukke den øverste række fra konceptet om, at de skiftende forskelle og summer giver 0 ^ n for alle rækker.

Hvis du er en af ​​dem, der har et hangup om 0 ^ 0 = 1, skal du virkelig komme over det hangup, i det mindste i sammenhængen af heltal eksponenter. Hvis du betragter 0 ^ 0 som udefineret, skal du lige så godt kaste binomial sætning og ovenstående bevis, fordi du ikke kunne bruge binomial sætning til at evaluere (0 + y) ^ {n} og (x + 0) ^ { n}, uanset værdien af ​​ n , fordi den sidste periode i binomialudvidelsen for den tidligere magt og den første periode i den binomale ekspansion for den sidstnævnte magt begge involverer 0 ^ 0, så du bliver nødt til at kalde denne sum udefineret og tilføje den ellers helt unødvendige og fjollede udelukkelse, at binomial sætning ikke gælder for x = 0 og for y = 0. Du ville også være i strid med tomproduktreglen, hvilket indikerer, at produktet af ingen faktorer skal være det multiplikative identitetselement , 1. Forholdet 0! = 1 er også vigtig for binomial sætning såvel som mange andre steder – men med 0! man multiplicerer ingen faktorer, der starter ved 1, så det er et tomt produkt, og det er i sidste ende tomproduktreglen, der fortæller os, at 0! = 1. Den samme regel med tomt produkt fortæller os, at x ^ 0 = 1 for alle komplekse tal x , og værdien af ​​ x er uden betydning for reglen om tomt produkt, så ja, x = 0 gælder lige så godt som enhver anden værdi af x – ingen undtagelsestilfælde berettiget på nogen måde.

Der er adskillige andre grunde til at betragte 0 ^ 0 = 1 i det mindste i sammenhæng med heltal eksponenter: den formelle definition af polynomer og magtserier ved hjælp af ∑-notation og manipulation af sådanne polynomer og magtserier, forskellige kombinatoriske problemer og andre. Der er ingen lydmæssig begrundelse for, at 0 ^ 0 har nogen anden værdi end 1 eller at betragte den som udefineret, i det mindste i sammenhæng med heltal eksponenter.

Nogle af jer bliver måske lidt ulykkelige over jeg skriver sådan, fordi det overtræder alt, hvad du er blevet lært – måske så meget nød, at du har svært ved at overveje den mulige gyldighed af det, jeg har skrevet, og du er ved at skrive en reaktionskommentar for at fortælle mig, hvor jeg tager fejl. For at forhindre dig i at se fjollet ud med fejlagtige kommentarer, vil jeg gå videre og tage fat på, hvad jeg forventer ville komme:

  1. “Min lærebog og min lærer sagde, at 0 ^ 0 er udefineret, og de kunne ikke være forkert. ” Jeg hader at skulle fortælle dig og få din boble til at sprænge angående dine lærere og lærebøger, men der er mange emner i gymnasies matematik (og andre fag) lærebøger, der er forenklet til det punkt, at de er forkerte. Mine kommentarer her er ikke tænkt som en nedlæggelse af gymnasiets matematiklærere – de har en udfordrende opgave, og de fleste ønsker virkelig at gøre et godt stykke arbejde og hjælpe eleverne med at komme videre.De fleste matematiklærere i gymnasiet deltog ikke i matematik i deres universitetsstudier – mest med speciale i matematik. De lærer om, hvordan forskellige studerende tænker, hvordan man forklarer forskellige punkter på en række måder, hvordan man finder og diagnosticerer problemer, som studerende har med materiale, og andre meget værdifulde ting, der ikke er direkte relateret til matematik. De tilbringer tid i mock-klasseværelser såvel som rigtige klasseværelser under den faktiske lærers ledende øje for at få øvelse. De får en grundig gennemgang af matematikken, som de ville forvente undervisning, hvilket betyder på gymnasieniveau. De vil tage et par matematikkurser på universitetsniveau i deres program, men ikke i nærheden af ​​så mange eller så avancerede som hvad en matematikfag ville tage. Matematikfag gør ikke noget af det, men i deres mere avancerede kurser får de mere eksponering for, hvad rigtige, levende, professionelle matematikere gør, og de fleste matematiklærere får ikke den eksponering – de er ikke klar over, hvordan matematikere faktisk definerer ting som naturlige tal heltal, begrænset eksponering for matematikere, der bruger radianer i stedet for grader for vinkelmål (og manglen på enhedsymbol for vinkler indebærer radianer, ikke grader), uden at have det i blød i, hvad professionelle matematikere betragter som den passende rækkefølge (og , det er ikke PEMDAS, BODMAS, …) osv. Dine matematiklærere underviser, hvad bogen siger at undervise, og de er ikke klar over, at de lærer dig ting, der er i modstrid med, hvad professionelle matematikere gør.
  2. Opdelingslove for eksponenter: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, hvilket er udefineret, så 0 ^ 0 skal være udefineret, da de er ens. Der er udført et ugyldigt trin ved det andet =. En af delingsloven for eksponenter er b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, men den har nogle begrænsninger for at blive brugt. En af dem er, at anvendelsen af ​​loven ikke på noget tidspunkt må generere et udtryk, der involverer en gensidig værdi på 0 eller en division med 0. Derfor er brug af denne lov forbudt, når b = 0, fordi det genererer vrøvl – og det er det vrøvl, du vil bruge til at “bevise” din pointe. Beklager, men for at bevise et punkt kan du ikke bruge noget, der er så meget vrøvl, at det er ugyldigt. Ugyldige trin udgør et mislykket bevis. Også at skrive ting som a = b = c hvor c er udefineret er ugyldig – a og b er muligvis ikke gyldig. Ligninger må ikke benyttes, når mindst en af ​​siderne er udefineret eller på anden måde ugyldig. Det er forbudt at konkludere, at 1/0 = 1/0, fordi begge sider er udefinerede, så du kan ikke sige, at de er lige – hvordan kunne du vide, at to ting er ens, når du ikke engang har nogen idé om, hvad disse to ting er betyder (og du kan ikke have nogen idé, fordi de ikke har nogen definition).
  3. “0 ^ 0 er en ubestemt form, så den kan ikke have en værdi – min beregningsbog siger det.” Begrebet ubestemte former er meget ægte og nyttigt, så længe du holder det til den tilsigtede kontekst. Ubestemte former gælder udelukkende i sammenhæng med grænser – at du ikke kan se på den form og bestemme, om der findes en grænse, og hvis den gør, hvad den begrænsende værdi er. Skrivning 0 ^ 0 refererer til, hvad der er værdien af ​​f (x, y) = x ^ y ved (x, y) = (0, 0) – ikke hvad er grænsen da x og y nærmer sig 0 uafhængigt. En grænse kan eksistere, men funktionen er ikke defineret der; der kan defineres en funktion der, men grænsen findes ikke. De to begreber har intet at gøre med hinanden, bortset fra når en eller begge (definerende værdi og begrænsningsværdi) mislykkes, er funktionen ikke kontinuerlig på det tidspunkt. At sige, at en grænse tager form 0 ^ 0 betyder, at du ikke alene kan fortælle om disse oplysninger, om grænsen eksisterer, og hvad dens værdi er. Denne kendsgerning har intet at gøre med, om 0 ^ 0 = 1 eller er udefineret. At sige 0 ^ 0 = 1 siger ikke, at en grænse, der tager form 0 ^ 0, skal have værdi 1.
  4. 0 ^ y = 0 for alle positive y og x ^ 0 = 1 for alle ikke-nul x . (Mange mennesker, der bruger dette argument, glemmer, at y ikke må være negativ og behandle de to tilfælde som symmetrisk.) Hvis du erstatter 0 for begge x og y , i det ene tilfælde 0 ^ 0 = 0 og det andet tilfælde 0 ^ 0 = 1 – en modsigelse , så det kan ikke defineres. Lad os se. Der er to tal, hvis firkant er 9: +3 og −3; kvadratroden af ​​9 er således +3, men kvadratroden af ​​9 er -3. Åh, vi har en modsigelse, så der må ikke være noget som kvadratroden af ​​9 – det skal være udefineret.Nej, +3 er et mere nyttigt svar end −3, så vi definerer √9 = 3. Det faktum, at x ^ 0 = 1 for ikke kun alle ikke-nul reelle x men også for alle ikke-nul-komplekse x og endda alle ikke-nul-kvaternioner x ; på den anden side arbejder 0 ^ y på en ligetil måde kun for positive reelle x – ikke negative realer, ikke imaginære, så det giver ikke mere mening at gå med definitionen, der kun har et hul i stedet for alvorligt at overveje en mulighed, der har et utalligt antal huller ? Resultatet af 1 er langt, langt, langt mere nyttigt end 0 for 0 ^ 0. Hvis vi er villige til at kalde kvadratroden på 9 være +3, når der er langt mindre grund til præference, hvor meget mere skal vi kalde 0 ^ 0 = 1, når der er meget stærk grund til præference. Tom-produktreglen foreskriver valget af 1 og ikke 0. Mange praktiske anvendelser finder, at 1 er et yderst nyttigt resultat, mens 0 eller udefineret ville være problematiske resultater. Ingen meningsfuld applikation har 0, der er et nyttigt resultat, så vi vælger 1.

Svar

\ text {Som pr. Binomial sætning}

(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m

\ text {Udskiftning af a = 1 og x med – 1}

(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m

\ antyder 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n

\ text {QED}

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *