Bedste svar
Definitionen af spore, da summen af diagonale poster i en matrix er let at lære og let at forstå. Men det har ikke (a priori) nogen god geometrisk eller anden fortolkning — det ser bare ud som et beregningsværktøj. At angribe det fra dette perspektiv betyder dybest set, at du sidder fast med beregningsbeviser for fakta som tr (AB) = tr (BA).
De er ikke “t dårlige i sig selv. De er lette at forstå, og bestemt hvad der skal vises, når nogen i første omgang lærer lineær algebra. Der er en dybere grund til, at tr (AB) = tr (BA), men det er ret abstrakt og kræver især tensorproduktet for at forstå det.
Overvej rummet for lineære operatorer fra vektorer plads V tilbage til sig selv. Hvis vi vælger et bestemt sæt koordinater, vil sådanne operatorer ligne firkantede matricer. Vi skal dog sigte mod at undgå koordinater så meget som muligt.
Vi betegner med V ^ * dobbeltrummet for V, som rummet for lineære funktionaliteter på V — det vil sige lineære kort \ lambda sådan at hvis vi tilslutter en vektor v, \ lambda (v) er en skalar.
Hvis vi derefter tager tensorproduktet V ^ * \ otimes V, er det isomorft til rummet for lineære operatorer V \ rightarrow V. Isomorfismen fungerer således: hvis w \ i V, så (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
Vi kan også finde ud af, hvordan komposition fungerer under denne isomorfisme– – husk, at sammensætningen af lineære kort bare er den samme som at multiplicere de tilsvarende matricer.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
dermed
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Hvordan fungerer nu spor kommer ind? Nå, der er et naturligt kort fra V ^ * \ otimes V til feltet af skalarer, som fungerer således: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Det fantastiske er, at hvis du arbejder alt sammen i koordinater, er dette sporet.
Dette viser, at sporet langt fra at være et abstrakt beregningsværktøj, faktisk er et grundlæggende og naturligt kort i lineær algebra . Især giver ovenstående analyse automatisk et bevis på, at tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).
Men hvorfor er den stærkere sætning tr (AB) = tr ( BA) sandt? Lad os beregne dem begge.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ højre) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
På den anden side:
tr \ left ((\ \ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ højre) = tr \ venstre (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ højre) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah , så AB svarer til parring \ lambda\_1, \ lambda\_2 og v\_1, v\_2 på en måde, og BA svarer til parring af dem på den anden måde, men når vi først har taget spor, bliver de parret igen , og på det tidspunkt ophører der med at være nogen forskel.
Smuk.
Svar
Beviset for \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) er en ligetil beregning:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
Jeg er ikke sikker på, om dette svarer på “hvorfor” -delen af spørgsmålet i betydningen “Ja, Jeg kan se, at beregningen fungerer, men hvorfor ? “.
Det er ikke ofte muligt at forklare “hvorfor” noget er sandt. Her er det måske nyttigt at bemærke, at AB og BA faktisk deler meget mere end sporet: de har det samme karakteristiske polynom .
En anden nyttig observation er, at hvis A eller B ikke er ental (inverterbar), så er AB og BA ens matricer, simpelthen fordi
AB = B ^ {- 1} (BA ) B.
Lignende matricer har helt klart de samme egenværdier, så især har de samme spor. Vi kan argumentere ved kontinuitet (over felter, hvor dette giver mening) for at konkludere, at det samme gælder selv i entalssagen.