Bedste svar
På grund af selve definitionerne af \ sin x, \ cos x og \ tan x.
I en ret trekant med spids vinkel x har vi defineret trig-forholdene som følger:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {modsat}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {tilstødende}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {modsat }} {\ text {tilstødende}}
Herfra får vi akronymet SOH-CAH-TOA
Alligevel, hvis vi tager udtrykket for \ tan x og deler tæller og nævner af \ text {hypotenuse} får vi:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {modsat} / \ text {hypotenuse}} {\ text {tilstødende} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Svar
Lad os starte med et billede (kredit: Højre trekant – fra Wolfram MathWorld )
Vi vil fokusere på den venstre, men den højre to er meget vigtige i trigonometri.
Jeg bruger con at vinklen modsat side a er \ alpha og vinklen modsat side b er \ beta.
Recall: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Lad os nu dele sinus med cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Vi kan gøre det samme med \ beta. Generelt kan vi gøre det samme trick med enhver ret trekant, så det skal være en iboende egenskab ved de trigonometriske funktioner. Vi ved, hvad sinus og cosinus er på grund af, hvordan vi definerede dem som disse særlige forhold.