Bedste svar
Per definition er der 360 grader i en fuldstændig rotation; således er 45 grader halvdelen af halvdelen af halvdelen af en fuldstændig rotation, det vil sige 1/8 af en komplet rotation.
Tag en firkant og træk linjer fra midten til hjørnerne og til midtpunkter på hver side. Dette sætter otte lige store vinkler rundt om midten; disse vinkler er således alle 45 grader.
Vi kan også se, at vi får rigtige trekanter for hver af disse, hvor begge ben i disse højre trekanter i begge tilfælde er ens (halvt så store som en side af pladsen). Således er tangenten (i betydningen modsat ben / tilstødende ben) på 45 grader 1.
Svar
“ Hvad er tan (45)? ”
Hvis x er et ikke-nul rationelt tal, så tan x er irrationelt (bevist af Lambert, 1761). Jeg ved ikke, om der er udviklet noget bevis end tan x skal være transcendentalt, selvom der har været et sådant bevis for sinus og cosinus.)
Nu er 45 et ikke-nul rationelt tal, så tan 45 skal være irrationel.
Den enkleste form for eksakt udtryk for denne værdi er tan 45. Du kan ikke udtrykke det mere simpelt og få udtrykket til at repræsentere nøjagtigt tan 45.
Hvis du er interesseret i en numerisk tilnærmelse for at få en god fornemmelse af størrelsen og tegnet på tallet, vi have: tan 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
For dem, der fejlagtigt hævder i deres svar end tan 45 = 1, har du overtrådt den sætning, jeg henviste til i første omgang. Du har overtrådt sætningen ved at fremsætte en sådan erklæring, og fordi sætninger kræver bevis for deres rigtighed, betyder enhver overtrædelse af en sætning, at noget er gjort forkert. I dette tilfælde antager fejlen, at tan 45 betyder tan 45 °, hvis du vil have tangenten (af sinus, cosinus, cotangent, secant eller cosecant i en vinkel, der er et bestemt antal grader, og du vil bruge det tal, så er det obligatorisk, at du bruger ° -symbolet eller multiplicerer dette tal med π / 180. Argumentet for tangentfunktionen behøver ikke have noget at gøre med vinkler – det kan være ethvert reelt tal (undtagen hvor der genereres entaliteter som π / 2) med vilkårlig betydning. Nu svarer vinkler faktisk til reelle tal – dette gælder ikke for længder, tidsvarigheder osv., men vinkler har denne specielle egenskab. Vinkler er faktisk dimensionsløse størrelser, hvilket betyder at de kan udtrykkes som tal. Nu findes forskellige enhedsnavne for vinkler, fordi det ofte er bekvemt at henvise let til forskellige størrelser af vinkler. Hvert vinkel enhedsnavn (halvcirkel, radian, grad, bueminute, buesekund osv.) svarer til et værdi. Det viser sig, at hvis du har en cirkel med radius 3 m og en bue af denne cirkel med længde 6 m, den nedsatte vinkel er (6 m) / (3 m) = 2 (bemærker, at målerne i tælleren og nævneren annullerer hinanden for kun at give et tal ), men 2 af hvad. Definitionen af en radian er, at vinklen er sådan, at buelængden og cirkelradius er ens, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Rad = 1/1 = 1. Så fordi rad = 1, vi kan skrive 2 rad = 2 × 1 = 2, så den eksplicitte skrivning af rad for at udtrykke værdien af en vinkel er valgfri. Nogle gange er det meget nyttigt at undgå tvetydighed (såsom at skelne en vinkelfrekvens på 1 rad / s versus en cyklisk frekvens på 1 [cyklus] / s = 1 Hz), og vi vil insistere på at inkludere rad for klar kommunikation, selvom det er nominelt valgfri; i andre tilfælde er der ingen tvetydighed, og det er helt fint at aflade rad.
Nu, 180 ° = π rad, to forskellige udtryk, der henviser til vinklen på en halvcirkelbue. Hvis vi deler igennem med siderne af ligningen med 180, ser vi: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, da rad = 1. Med andre ord er graden også bare et tal, men dets værdi er ikke 1; derfor kan vi ikke gyldigt skrive 45 ° = 45 og bare kavalere slippe ° -symbolet. Fordi ° repræsenterer tallet π / 180, betyder det 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, hvilket betyder, at når du anvender betydningen af °, ender du med et andet tal – et tal, der svarer til antallet af radianer, så du konverterer implicit fra grader til radianer. Hvis du kun skriver 45, er det lig med 45 × 1 = 45 rad, og kan ikke betyde 45 °. Hvis du ikke forstår vinkler og deres numeriske værdier på denne måde, ville vi ikke være i stand til at gøre ting som afledningen af synd x med hensyn til x er cos x ; udtrykket skulle være temmelig mere rodet – uønsket mere rodet. For mange modsætninger og andre underlige ting sker, hvis du prøver at opføre sig som om den vinklede enhedsgrad har numerisk værdi 1, så du frit kan inkludere den eller undgå den.
Desværre fungerer de mere almindeligt anvendte geometri-lærebøger i gymnasierne alle dovne og lærer eleverne at være uhensigtsmæssigt dovne – ikke gider at skrive måleenhederne, når de er grader. Denne fejl korrigeres normalt i mere avancerede algebra- eller trigonometri-lærebøger, hvor ° altid er skrevet, når grader er beregnet, og når enheder er afbrudt, er radianer altid beregnet, hvilket matcher standardpraksis af professionelle matematikere og fysikere. Jeg ved ikke, hvorfor geometri-lærebøgerne insisterer på at tage en uacceptabel genvej i strid med almindelig professionel praksis, fordi lærerne og eleverne bliver frustrerede over senere kurser, når de skal undervise og lære, at ° -symbolet er nødvendigt.