Bedste svar
Kun når θ = 0.
Det er geometrisk indlysende, at for enhver θ mellem 0 og π / 2, 2sinθ er længden af akkorden for en bue med radianmål 2θ i en cirkel med radius 1. Og da akkorden er kortere end buen, skal vi have sinθ <θ for alle sådanne θ. Og selvfølgelig, hvis θ> 1, så sinθ . Endelig betyder sinθ <θ for alt positivt θ sinθ> θ for alt negativt .
Selvom θ måles i grader, kan sinθ ikke være lig med θ medmindre θ = 0, simpelthen fordi radiens mål for en bue af θ grader er πθ / 180, hvilket er meget mindre end θ.
Svar
Jeg tror, at det bedre spørgsmål er, \ cos \ theta er lig med 2?
Du ved sikkert, at det ikke kan, hvis \ theta er vinklen på en trekant i plan geometri, fordi hypotenusen i en højre trekant er længere end længder af benene, og det tilstødende ben kan ikke være dobbelt så lang som hypotenusen. Tilsvarende hvis \ theta er et reelt tal, fordi \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Hvis \ theta \ i \ mathbb R, så -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, kan derfor \ cos \ theta ikke være 2.
Vi hævder dog, at hvis z \ in \ mathbb C, det er muligt for \ cos z = 2. Faktisk er den komplekse analytiske definition af cosinus \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, og så ender vi med en kvadratisk ligning, som forhåbentlig de fleste af os er vant til .
Vi ønsker at løse \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Hvis vi tager w = e ^ {iz}, bliver dette til \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, eller ækvivalent, w ^ 2-4w + 1 = 0. Vi anvender derefter den kvadratiske formel:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Da w = e ^ {iz}, kan vi derefter tage den naturlige log, men skal vi være forsigtig : ligesom a ^ 2 = b ^ 2 ikke indebærer a = b (det indebærer kun a = \ pm b), e ^ a = e ^ b ikke antyder a = b, det kun indebærer a = b + 2 \ pi ik for noget k \ i \ mathbb Z. Derfor,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Derefter multipliceres vi simpelthen med -i for at få værdien af z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Vi kan endelig omskrive vores løsning og bemærke, at 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, og dermed \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Opførslen af \ cos z som en kompleks analytisk funktion efterligner den trigonometriske funktion i den virkelige retning og den hyperbolske cosinus i den imaginære retning; faktisk ved du måske, at \ cos (iz) = \ cosh z og \ sin (iz) = i \ sinh z; og at kombinere disse fakta med cosinus sumformlen indebærer \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, med x, y \ i \ mathbb R. Dette giver en alternativ måde at udarbejde svar. Philip Lloyd har et fantastisk diagram om dette: Philip Lloyds svar på Hvorfor kan ikke cos teta lig 2?