Bedste svar
1. Rødder af tal.
I folkeskolen rådede vi os om, at kvadratroden af et tal faktisk er et spørgsmål. Hvilket antal ganget med sig selv, så mange gange for at få et tal, er roden. For eksempel. kvadratroden på 9 = 3, siden 3 × 3 = 9 fjerde rod på 16 = 2, siden 2 × 2 × 2 × 2 = 16 og så videre. Men røddernes natur er mere grundlæggende, da applikationen udvidede nummersystemet fra det rationelle til det virkelige. Med andre ord var det nødvendigt at udvide nummersystemet, så det blev lukket under operation af “rooting” ved at indføre de irrationelle tal. De rationelle tal er lukket for +, -, ×, ÷ men ikke for√. F.eks. √2 kan ikke udtrykkes som et forhold. Pythagoreere vidste dette og skulle have forsøgt at supperess det, da det ikke kvadratisk, ha, ha, med deres verdensbillede.
2. Rødder af ligninger
Karakteren, som vi fik at vide, var, når kurven skærer x-akse. Dette kunne forekomme en, to, tre gange afhængigt af polynomet. Der blev udtænkt regler for at beregne dem, som vi alle lærte. Derefter blev spørgsmålet stillet. Hvad sker der, hvis kurven ikke klipper x-aksen? Så har vi tydeligvis en imaginær rod, og dette opstod, da b ^ 2-4ac . Dette krævede, at en anden udvidelse til nummersystemet var nødvendig. Så det komplekse talesystem blev opfundet for at inkludere rødder af negative tal. Så “røddernes” natur har været at udvide nummersystemet ud over de rationelle tal.
Svar
Jeg forestiller mig, at du mener “naturlig” i betydningen “naturlig isomorfisme.” Hvis noget er “naturligt” eller “kanonisk”, betyder det groft, at det ikke er resultatet af noget vilkårligt valg. Det bestemmes naturligvis af dets sammenhæng.
Et af de motiverende eksempler på en “naturlig” ting er isomorfismen mellem et endeligt dimensionelt vektorrum V og dets dobbelte dobbelt V ^ {\ vee \ vee}. Isomorfismen tager v \ i V til E\_v \ i V ^ {\ vee \ vee}, hvor E\_v (\ phi) = \ phi (v) for \ phi \ i V ^ \ vee. Du sender vektoren v til kortet E\_v, som evaluerer dobbeltvektorer ved v. Dette er naturligt; der blev ikke foretaget vilkårlige valg, det faldt bare direkte ud af definitionerne og forholdet mellem de involverede objekter.
Der er anden isomorfisme mellem disse to rum, eller selvfølgelig, men denne er “det rigtige valg.” Ethvert andet valg ville være unaturligt; for eksempel kan du sende v til E\_ {A (v)}, hvor A: V \ til V er en vilkårlig lineær automatisering af V. Men … hvorfor? Der er slet ingen grund til at introducere A, da du har det naturlige valg v \ mapsto E\_v lige foran dig. Forhåbentlig er forskellen mellem den “naturlige” og “unaturlige” isomorfisme klar nok.
På den anden side er der ingen naturlig isomorfisme L: V \ til V ^ \ vee. At konstruere en isomorfisme kræver vilkårlige valg. Jeg kunne vælge en basis b\_1, \ prikker, b\_n og erklære L (b\_i) for at være den dobbelte vektor, der tager b\_i til 1 og alle de andre basisvektorer til 0. Dette definerer en perfekt fin isomorfisme, men jeg kunne gøre nøjagtigt det samme ting med ethvert andet grundlag og få en anden, lige så gyldig isomorfisme. Der er ingen måde at vælge en på en naturlig, gudegiven * måde.
Dette er en meget grov, uformel beskrivelse. Det kan (og er) præciseret efter kategoriteori: funktioner og naturlige transformationer giver den rigtige måde at tænke på, hvad der gør noget ”naturligt” i en eller anden sammenhæng. Jeg har gjort mit bedste for at formidle min egen intuition til konceptet, hvilket jeg tror ville være tilstrækkeligt, indtil man er klar til (cate) blodige detaljer.
* matematikens teologi / ontologi uanset