Bedste svar
Da ellips er en klemt cirkel, kan vi overveje en ækvivalent cirkel. Dette ville bare være en tilnærmelse og ikke den nøjagtige værdi af omkredsen af ellipsen.
Vi ved, at ligningen af en ellips er:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Når a = b = r bliver dette ligningen af en cirkel. Så jeg kunne skrive ligningen af den tilsvarende cirkelradius i form af a og b.
I stedet for at tage middelværdien af a og b ville vi få en bedre tilnærmelse ved tager rodgennemsnit kvadratet af a og b.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Derfor er den omtrentlige omkreds af ellipsen:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Der er meget bedre tilnærmelser derude, men jeg tror, det ville være nok.
Håber det hjalp.
Svar
Lad os prøve, hvis vi kan finde omkredsen af en ellipse.
En ellipse med halv hovedakse a og halv mindre akse b har ligning:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
En graf (vi skal her nøjes med maling, min matematik-software har brug for en licensfornyelse):
For at finde omkredsen er vi nødt til at udtrykke en del af denne omkreds \ tekst {d} s som en funktion af \ tekst {d} x, \ tekst {d} y og forhåbentlig ankomme ved et anvendeligt udtryk.
Hvis vi antager, at vi kan tilnærme \ text {d} s med en lige linje, kan vi anvende Pythagoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Jeg antager, at vi altid tager \ text {d} x> 0, eller vi flytter fra venstre til lige langs hovedaksen.
Alt, hvad der er tilbage, er at annoncere d disse små bidrag af buelængde. Vi kan overveje x \ i [0, a] og gange med 4, fordi vores ellipse er symmetrisk i x, y-aksen.
Vi fandt:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Hvis vi finder en (pæn) måde at udtrykke:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
vi er i forretning.
Men vi har allerede udtryk (1), der vedrører y til x. Tid til at beregne (3), jeg bruger implicit differentiering:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
eller
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Vi skal kun kunne skrive dette ved hjælp af x. Vi bruger (1) igen:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Erstat (5) i (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Stedfortræder til (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Der er et par muligheder for at omskrive denne integral. En mulighed ville være at indstille x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z, og en ville nå frem til:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
En anden metode ville være at bruge en parametrisering af ellipsen i følgende form:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Og dette fører til en elliptisk integral af den anden slags, hvilket er mere eller mindre standardmetoden:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
med
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
ellipsens excentricitet.
Sammenligning af udtryk (6,7) og (8) ser vi, at man måske foretrækker (8) frem for (6, 7). Det sidste udtryk er ikke kun enklere i dets parameter e, men opfører sig pænt. I udtryk (6,7) har vi stadig et problem, når x \ til a, z \ til 1.
Dog der er intet lukket formudtryk for resultatet. For en cirkel har vi e = 0 og (8) reduceres pænt til 2 \ pi a, som det formodes at gøre. Det samme gælder for (6,7).