Bedste svar
Oprindeligt besvaret: Hvad er et godt skøn over terningen af 4?
Den niende rod af N er en rod af x ^ nN = 0. Derivatet af x ^ nN er nx ^ {n-1}, så givet et indledende skøn, x, af roden, er et nærmere skøn ved hjælp af Newtons metode
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
som er gennemsnittet af ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 of these}} \ text {and} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Dette vægtede gennemsnit giver mening, når du først er klar over, at både x og \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} er estimater for den niende rod af N, at de er “slukket” i modsatte retninger , og at x er et n-1 gange bedre skøn end \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Lad os nu anvende metoden …
Lad N = 4. Lad x være dit skøn over terningen af 4. Start med et godt gæt, såsom x = 2. Beregn derefter
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~ ~ for at få et bedre estimat.
I dette tilfælde
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ ca. 1.66666667 …
Gentag derefter med x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ ca. 1.5911111 …
Dette er en tilnærmelse, der er god til cirka 3 signifikante cifre, så lad os gøre det en gang til,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ ca. 1.58740969614163 …
Dette er cirka 6 signifikante cifre. For hver iteration fordobles antallet af korrekte cifre ca..
Svar
Afhængigt af hvor meget du kender i matematik, er der 2 mulige måder-
- Brug logaritmer
- Brug iterative metoder (bisektionsmetode, Newton-Raphson-metode osv.)
Logaritmer- Tag x = 2 ^ {1/3}
Så log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (ca.)
derfor x = antilog (0.100343) = 1.2599 (ca.)
Iterative metoder- Jeg viser med en delingsmetode, du kan prøve andre, hvis du vil. (Processen er næsten den samme.)
Lad x = 2 ^ {1/3}
Så, x ^ 3 – 2 = 0
Lad f (x) = x ^ 3 – 2
Vi vælger to værdier således at den ene giver f (x) <0 og den anden giver f (x)> 0
Vi ser at f (x) <0 for x = 1 og f (x)> 0 for x = 2. Så, x1 = 1, x2 = 2
Nu tager vi gennemsnittet af disse værdier som nye x
Så, nye x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Vi ser, at både 1,5 og 2 giver værdier> 0, så vi kasserer 2, da det giver værdien af f (x) mere væk fra 0. Vi holder kun værdier på x, som giver værdien af f (x) tættere på 0
Så vi tager x1 = 1 og x2 = 1,5
igen finder vi ny x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Nu skal vi kassér 1 som 1,25 giver værdien af f (x) tættere på 0
så vi tager x1 = 1,25 og x2 = 1,5
Igen finder vi nye x som gennemsnit af disse 2 værdier, erstat i f (x) for at se dets tegn, og afhængigt af det tager vi vores nye x1- og x2-værdier.
Gentag denne proces, indtil du er tilfreds med dit svar (sidste x).
P.S. Disse processer giver aldrig nøjagtigt svar, du er nødt til at stoppe med en omtrentlig.