Bedste svar
For at bevise dette skal du bruge sinus-subtraktionsformel. > dvs. sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Her er a = π og b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Bevist derfor
Svar
Bevis 1:
Den enkleste måde at bevise
cos (π / 2 – x) = sin x
er at sætte A = π / 2, B = x i den trigonometriske formel
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
og opnå
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Erstatning af cos π / 2 = 0 og sin π / 2 = 1 i (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Bevist)
Prøve 2:
Lad ABC være en trekant vinkelret på B. Lad AB være basen og AC hypotenusen. Hvis vi betegner vinklen C med x, er basisvinklen A = (π / 2 – x), så A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π eller 180 °.
For basisvinklen A er BC vinkelret.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = base / hypotenuse = AB / AC ………… .. (3 )
For vinklen C er AB den vinkelrette og derfor
sin C = sin x = vinkelret / hypotenuse = AB / AC ……………. (4)
Ligestilling (3) og (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Bevist)
Bevis 3:
Brug Eulers formel
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
som definerer symbolet eⁱᶿ for enhver reel værdi af θ. Her er i = √-1.
∴ Vi kan sætte θ = (π / 2 – x) i formlen og skrive
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Eller, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nu e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i og e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Eller, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Da i² = -1]
Ligestilling af de reelle og imaginære dele,
cos (π / 2 – x) = sin x (Bevist)
og cos x = sin (π / 2 – x)
Afsluttende bemærkninger:
Af de tre metoder, der præsenteres her for at bevise den givne påstand, skal den foretrukne metode være bevis 1. Dette er fordi det er simpelt, ligetil og hurtigt. Kan udføres mentalt af en gennemsnitlig studerende på cirka 30 sekunder. I bevis 2 er der plads til forvirring med hensyn til, hvilken base der er den højre vinkelrette, der skal tages. Derudover skal man bruge ekstra tid på at tegne en trekant, markere siderne, vinklerne osv. Bevis 3 er fint; men ikke mange er komfortable eller gode til at arbejde med komplekse funktioner. Metoden medfører mere algebra end de andre metoder; men det giver en bonus, nemlig: det beviser formlen cos x = sin (π / 2 – x).