Bedste svar
Hvordan du beviser, at identiteten afhænger meget af, hvordan du tænk på sinus og cosinus.
Hvis du tænker på sinus og cosinus som forholdet mellem siderne i en højre trekant (som i gymnasiet, hvor de lærer sinus som modsat over hypotenusen), får du en rigtig trekant med siderne a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (sidstnævnte af Pythagoras trekant), og \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Hvis du tænker på sinus og cosinus som koordinaterne for et punkt på enhedscirklen (parametreret af cirkelens bølgelængde), svarer hvert punkt ved definitionen af enhedscirklen til x ^ 2 + y ^ 2 = 1, så punktet (\ sin \ theta, \ cos \ theta) gør det også, så \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus og cosinus kan også defineres som uafhængige løsninger til differentialligningen f = -f, med \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Da der kun er to uafhængige løsninger til ligningen , og det er let at se, at f ^ {(n)} er en løsning, det skal være tilfældet, at \ sin x, \ sin x, \ sin x ikke kan være uafhængige løsninger. Faktisk er \ sin x = – \ sin x, så \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, så \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Fra dette kan vi implicit differentiere \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x for at få 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Så værdien af \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x er en konstant, og vurderet til 0 får vi \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, så \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus og cosinus kan også defineres ved hjælp af magtserien \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. En omhyggelig udvidelse af disse magtserier i udtrykket \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x viser alle de termer, der involverer x ^ n annullering, og efterlader kun det konstante udtryk 1 som værdien.
Svar
For at tænke over dette skal vi overveje, hvad de trigonometriske forhold er. Vi ved, at sinusforholdet er lig med vinklen modsat en side over hypotenusen fra en vinkel eller o / h. Vi ved også, at cosinusforholdet er lig med den tilstødende side til en vinkel over hypotenusen eller a / h. Dernæst ser vi, at begge disse forhold er kvadreret, hvilket betyder, at den trigonometriske identitet, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, svarer til (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, der er lig med o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Da vi har en fællesnævner, kan vi kombinere disse to ligninger for at få (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Vi kan så se på dette og indse, at vi definerer alle siderne af en trekant. Vi ved ved Pythagoras sætning, at a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vi kan se, at da hver af disse værdier for o, a og h er alle de forskellige sider af en trekant, at de er lig med a, b og c. Værdien af c i Pythagoras sætning er hypotenusen i en retvinklet trekant, så vi ved, at h = c. Dette betyder, at a og b er lig med o og a. Det betyder ikke noget, der er tildelt hvilket bogstav, da resultaterne ikke ændres. Vi kan så se, at vi gennem Pythagoras sætning ved, at a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, der fører til o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Dette betyder, at vi kan erstatte tælleren af vores tidligere ligning, hvilket gør det ækvivalent med (h ^ 2) / (h ^ 2). Endelig ved vi, at enhver variabel divideret med sig selv er lig med 1, derfor er denne ligning lig med 1. Hvis vi vender tilbage til den oprindelige ligning, har vi bevist, at sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.