Bedste svar
Et komplekst tal er et todelt tal. Det har en reel del og en imaginær del. Vi har en tendens til at skrive det i form,
a + bi, hvor i er kvadratroden af negativ, dvs. (-1) ^ (1/2)
I mellemtiden , kvadratet af et tal er selve antallet gange. Dette betyder, at
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Vi stødte på noget der lignede dette, da vi betragtede faktorer for kvadratiske ligninger. Der er en systematisk tilgang til at udvide produktet af to todelt faktorer. Du har muligvis stødt på akronymet “FOIL”:
- Multiplicer de to F første termer
- Multiplicer de to O uter termer
- Multiplicer de to I nner termer
- Multiplicer de to L ast termer
Summ de fire termer for svaret
Anvend den samme FOIL tilgang, med (a + bi) * (a + bi), der får
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Vi kan omorganisere lidt. De to midterste termer er ens, så vi kan liste dem en gang, men ganget med to.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Og nu vil vi se på det sidste udtryk, og indse, at firkanten af et produkt kan skrives som produktet af de separate firkanter. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Lad os anvende denne regel:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Men “i” er kvadratroden af -1. Kvadratet af kvadratroden af et tal er selve tallet. Så (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Lad os sætte dette i.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Den sidste periode er stadig grim. Vi kan pendle den “gange negative” til den anden side og omskrive hele udtrykket som en subtraktion.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Men ser på udtryk, følger vi ikke formatet for en reel del efterfulgt af en imaginær del. Vi har en reel del, en imaginær del og en anden reel del. Lad os gruppere de reelle dele sammen.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Svar
Tænk først på et komplekst tal, a + bi som et ordnet par (a, b ). I COMPLEX PLANE med en vandret REAL AXIS, hvor x-aksen normalt er, og en lodret IMAGINARY AXIS, hvor y-aksen normalt er, tegner du punktet (a, b) på normal måde. Nu, afstanden fra oprindelsen til punktet (a, b), tror jeg kaldes MODULUS for komplekst nummer, lad os kalde det r.
Vi ved, at r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) af PYTHAGOREAN sætningen. (Beklager notationen, men jeg er begrænset med det.)
Også vinklen mellem den positive reelle akse og linjen fra oprindelsen til (a, b) vi kalder Theta (lad os bruge T til det). (Det kaldes ARGUMENTET for kompleksnummeret)
Nu. Kompleksnummeret a + bi kan skrives i POLAR FORM som
a + bi = r (Cos T + iSin T) siden
a = r CosT og. b = r Sin T
At tage kvadratroden af a + bi, brug den polære form.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Så for at gøre dette simpelt, se bare på grafen for det komplekse tal a + bi med en linje fra oprindelsen til (a, b). Drej nu linjen halvvejs tilbage til x-aksen, og afkort den til kvadratroden, så længe den Koordinaten til dette slutpunkt er kvadratroden af det komplekse tal er kvadratroden er kun 180 grader derfra.
For at bevise det, lad os tage kvadratroden af Z = -4
Grafen er et punkt på den negative reelle akse , 4 enheder til venstre for oprindelsen. Vinklen T = 180 grader.
For at tage kvadratroden på -4 skal du bare dreje linjen tilbage til 90 grader (halvdelen af 180) og forkorte længden til 2 kvadratroden på 4. Vi vinder 2 enheder op på den imaginære akse. SÅ en kvadratrod på -4 er 2i. Og den anden kvadratrod er -2i, 180 grader væk.
I symboler:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
og 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
For at få kvadratroden af (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radikal 2 over 2 + (i) radikal 2 over 2.