Bedste svar
Når jeg har set de andre svar, der allerede er sendt, er jeg slet ikke tilfreds med deres fuldstændighed. … og som en erfaren matematiklærer føler jeg mig forpligtet til at give et uforkortet svar.
Den cos (2x) formel, som du angav, er en af de tre dobbeltvinkelidentiteter for cosinus. Løsning af denne ligning for sin (x / 2) resulterer i halvvinkelidentiteten for sinus.
Bemærk, at hvor Jeg markerede *. En af de mindre kendte regler for trigonometri indikerer, at du ækvivalent kan dele alle trig-funktionsargumenter med den samme konstant på begge sider af en ligning. Faktisk kan du opdele enhver konstant. men det er måske ikke altid nyttigt. Prøv at løse ovenstående ligning for sin (x / 3), og brug derefter denne til at finde synd (pi / 12). Det fungerer smukt.
For at faktisk bruge sin (x / 2) formlen skal du manipulere den givne ligning ved hjælp af en ækvivalent, kompleks brøk som vist her:
Dette vises selvfølgelig i det første billede ovenfor. Udover at kende / udlede halvvinkelidentiteten er den større udfordring faktisk at anvende den.
Svar
I. Lad os bruge en problemløsningstilgang kaldet ækvivalens .
Med denne tilgang vælger vi et fordelagtigt objekt eller et sæt objekter og ser på dem fra forskellige … vinkler med håb om, at vi kan få et frugtbart forhold i processen.
Et sådant objekt eller en forestilling kunne være kvadratisk område .
Vi starter med en højre trekant, hvis længde er en enhed, vælger en vinkel x og markerer længderne på trekantssiderne som \ cos x, som vi er enige om at behandle som trekants højde og \ sin x, som vi er enige om at behandle som trekants base :
Så antager vi, at det er en bevist kendsgerning, at det firkantede areal af en trekant er det halverede produkt af dets bas e over højde:
A \_ {\ trekant} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Næste trin er ret udfordrende, fordi vi i vakuum ikke rigtig ved præcis, hvad der venter os på den anden side af 2 \ sin x \ cos x. Fra opdagernes synspunkt stirrer vi ned i det ukendte afgrund. Så kald det intuition, en glad tanke eller bare en næse, men vi tænker således:
ok, vi har fundet en måde at knytte en konkret forestilling (et firkantet område) til en ellers abstrakt og lad os se det, temmelig mystisk udtryk, men – ikke ligefrem da vi stadig skal arbejde faktor 2 derinde.
Hvordan kan vi gøre det?
Nå, hvad med at tilslutte sig de to identiske trekanter sammen?
Så forbliver højden eller \ cos x i vores lingo den samme, men vi vinder ved at svejse de to identiske baser, \ sin x i vores lingo, ind i en:
Vær opmærksom på at vi pedantisk følger / fortolker dit udtryk.
Nu er tiden inde til ækvivalens at stå højt og blive talt. Den nye sammensatte form er stadig en trekant, og dens firkantede areal er stadig:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
men vi har ret til at se på den samme form forskelligt: hvis vi behandler siden af længde 1 som en base, så er den vinkelrette på den, vist i rødt, højden. Men vinklen på det øverste toppunkt er 2x. Derfor er den nye højde pr. Definition:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Derfor kan det samme firkantede område i den samme trekant være gengivet som:
A \_ {\ trekant} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Men ( 2 ) og ( 4 ) repræsenterer samme størrelse. Derfor:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
hvorfra vi opdager, at:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. For en lignende, men mere læsefærdig behandling, start med den samme trekant som ovenfor, og fordob længden af dens \ sin x side ved at konstruere en cirkel \ sigma med centrum ved B og radius BA:
Men nu skærer AC \ sigma ved E (så længe x 5 ^ {\ circ}) og enten ved Thales sætning eller ved Euclids B3P31 (vinklen i en halvcirkel er ret) vinklen ved E er ret:
og da de rigtige trekanter ABC og AED deler en fælles vinkel \ theta følger det, at \ vinkel ADE = x og fra \ trekant AED for ED har vi:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Men fra den rigtige trekant CED for ED har vi:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
og derfor:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(du tænker måske på dette en tyndere ækvivalens, da vi har brugt længden af et linjesegment til at bygge bro mellem de to stykker sammen)
III. Denne version kan med al sandsynlighed virke for avanceret, men jeg vil vise den alligevel og af to grunde. En af grundene er at demonstrere, at der ikke kun i matematik er mange forskellige måder at opnå det samme resultat på, men nogle af disse måder kan virke overraskende. Den anden grund – du har noget at se frem til at lære.
På et eller andet tidspunkt i din matematiske uddannelse kan du støde på disse objekter kaldet komplekse tal . Med disse tal kan vores to trigonometriske funktioner registreres som følger (på grund af en stor schweizisk matematiker Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
hvor e er Eulers nummer og jeg har denne ejendommelige egenskab, at i ^ 2 = -1, men ignorere alt dette et øjeblik og bare lige multiplicer de ovennævnte to fraktioner i henhold til reglerne i mellemskolealgebra:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
i henhold til ( 5 ).