Bedste svar
Hvordan finder jeg overfladearealet på en cirkulær ring?
En cirkulær ring er i det væsentlige en torus.
En torus overflade er den, der er lavet af en cirkel med radius r roteret omkring en akse i en afstand R fra centrum af cirklen (R> r). Aksen passerer gennem torus centrum.
Således får vi en cirkulær ring med tykkelse 2r med den indre radius Rr og den ydre radius R + r.
Et tværsnit af det cirkulære ring er angivet nedenfor.
Overvej en lille del af cirklen til venstre i en vinkel \ theta med linjen sammenføjning af midten af de to cirkler ved de diametralt modsatte ender af tværsnittet, under en vinkel d \ theta i midten af cirklen, som vist i figuren.
Buen dannet af vinklen d \ theta er r \, d \ theta.
Afstanden for denne bue fra midten af ringen er Rr \ cos \ theta.
Når vi drejer denne bue rundt om aksen passerer gennem midten af ringen, får vi en stribe af ringens overflade, der måler 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta.
For at få overfladearealet af ring skal vi integrere dette fra \ theta = 0 til \ theta = 2 \ pi.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ limits\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ left [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad The overfladearealet på den cirkulære ring er 4 \ pi ^ 2rR.
Svar
Der er to typer cirkulære ringe, jeg har set.
[1] Cirkulær ring med cirkulært tværsnitsareal.
I dette tilfælde skal du bare finde et skåret tværsnit for at finde overfladen. Det ser ud til … cylindrisk stang.
Find overfladen er
Radius af cylindrisk stang, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, hvor R\_1 & R\_2 er intern og ekstern radius af cirkulær ring.
Længde på cylindrisk stang, l = 2 \ pi R\_m, hvor R\_m betyder radius af den cirkulære ring, dvs. R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Overfladeareal = 2 \ pi rl = 2 \ gange \ pi \ gange \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ gange (2 \ pi \ gange \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
dvs. , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Cirkelring uden cirkulært tværsnit: for eksempel, tag et rektangeltværsnit
hvis vi skærer tværsnittet
Jeg tror, at overfladeareal let kan beregnes. Gør det selv!