Bedste svar
Start med at observere, at sin 35 ° er tæt på sin 30 ° = 1/2. Så vi ved straks, at det er ca. 1/2. Det er inden for ca. 7\% af den faktiske værdi.
Lad os prøve at få et bedre skøn. Ved vinkeladditionens identitet
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Nu da 5 ° = π / 36 er en relativt lille vinkel, kan vi bruge tilnærmelserne sin x ≈ x og cos x ≈ 1. Så
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nu π ≈ 22/7 og (√3 / 2) ≈ 7/4 fordi 49/16 ≈ 3. Så vi får
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Dette adskiller sig fra den sande værdi med mindre 1\%.
En anden tilgang er at beregne den ved hjælp af de første parudtryk i Taylor-seriens udvidelse af sin x . Dette er nøjagtigt til bedre end 0,1\%, men sværere at beregne for hånd end 83/144.
Svar
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nu er Sin (3x), fra den generelle formel, lig med 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, hvorved x = 10 grader sættes, hvilket giver Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 og derfor,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 eller, ved at manipulere denne ligning og sætte Sin (10) = y, får vi
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Løs dette kubik ved hjælp af en numerisk iterativ metode som Newton-Raphsons metode, manuelt, for at få efter en slog:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Du kan selvfølgelig gå til færre tal afhængigt af, hvad din krævede præcision er.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Sæt værdierne for Cos (10) og Sin (10) i (1) ovenfor for at få:
Sin (35) = 0.57357643639 som ønsket.