Bedste svar
A2A.
Værdien af tan40 ° kan ikke findes ved hjælp af en standard trigonometrisk sum, forskelle eller submultiple vinkelformler. Men hvis du er fortrolig med at løse kubiske ligninger, kan denne metode komme til nytte –
Vi ved,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Udskiftning af x som 40 ° i denne ligning—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Skrivning af tan40 ° som y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° er en standardværdi og er lig med – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Ved løsning af denne ligning opnås tre værdier, hvoraf den positive værdi giver tan 40 °.
Derfor ca. tan 40 ° = 0,8394.
Svar
Hvad er værdien af \ tan 40 ^ o?
Vi kan finde værdien af \ tan 40 ^ o til ethvert ønsket nøjagtighedsniveau ved hjælp af Taylor-serien af \ tan x.
Taylor-serien for en reel eller kompleks værdiansat funktion f (x), der er uendelig differentierbar på et reelt eller komplekst punkt a er givet ved ,
f (x) = f (a) + \ frac {f “(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” “(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f “” “(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Dette kan skrives kompakt som f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad hvor f ^ {(n)} (a) betegner n ^ {th} -derivatet af f (x) ved x = a.
Det kan bemærkes, at i tilfælde af trigonometriske funktioner skal vinklen udtrykkes i radianer og ikke grader.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ højre) = \ tan \ venstre (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ højre) = \ tan \ venstre (\ frac {2 \ pi} {9} \ højre).
Hvis vi tager x = \ frac {2 \ pi} {9} og a = \ frac {\ pi} {4}, har vi (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Ved a = \ frac {\ pi} {4} er \ tan x uendelig differentierbar.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f “(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f “\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” “(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” (a) = f “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f “” “(x) = 4 \ sek ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sek ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “(a) = f” “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ til højre) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ højre) ^ 3 \ ca. 0.83892575.
Værdien af \ tan (40 ^ o) som angivet af Excel er 0,83909963.
Det kan ses, at selv med kun 4 termer i denne uendelige serie er fejlen kun 0,0272 \\%.
Hvis større nøjagtighed er nødvendigt kan vi tage yderligere vilkår for den uendelige serie.