Bedste svar
Hvordan løser jeg tan theta = -2?
Nå for dette begynder vi med at bruge arctan -funktionen, som er den omvendte af tangent funktion og finder en værdi \ theta sådan, at \ tan (\ theta) = -2.
Vi kan beregne værdien, men dette er et kompleks procedure, der involverer imaginære numre. Dette ligner en masse problemer, så det ville være lettere at bruge et sæt tabeller, selvom det måske er lidt mindre præcist. Selvom jeg har et gammelt sæt på min forældres hems, nyder det mig ikke på nuværende tidspunkt, så lad os søge på internettet efter nogle borde. Vent, hvis jeg har adgang til internettet, hvorfor ikke se, om internettet kan beregne for mig?
Nå, disse tilnærmelser er sandsynligvis mere nøjagtige, som vi har brug for, men vi holder fast ved dem indtil videre.
Måske kan du ikke lide ideen om negative vinkler? Bare rolig, det er let at konvertere disse til positive vinkler ved at tilføje 2π radianer / 360 °.
Således har vi 5.17603659 radianer / 296.5650512 °
Men vi er ikke færdige !
Funktionen arctan returnerer kun vinkler i det eksklusive interval (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), dvs. (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Så er der andre vinkler, hvis tangens værdi er -2?
Først er tangent -funktionen giver en negativ værdi, når vinklen er i det andet og fjerde kvadrant, nemlig når vinklerne er i de eksklusive områder (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) og (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Vi har allerede løsningen i den fjerde kvadrant, så hvad er løsningen i den anden kvadrant? Det er øst, tag bare π radianer / 180 ° fra opløsningen i fjerde kvadrant.
Hvorfor? Fra sammensætningsvinkelformlen til tangens -funktionen har vi:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – som \ tan (\ pi) = 0
Dette giver os vores anden løsning, 2.03444393 radianer / 116.5650512 °
For det andet er tangent -funktionen periodisk med en periode på 2π radianer / 360 °; dette betyder, at tilføjelse af et vilkårligt multiplum af 2π radianer / 360 ° til vores vinkel returnerer den samme tangent værdi.
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – som \ tan (2 \ pi) = 0
Brug af k til at repræsentere ethvert heltal er vores fulde løsningssæt således:
(2.03444393 + k \ pi) \ radianer eller (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Svar
Husk at sec (theta) = 1 / (cos (theta). Så har du
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, hvilket er en kvadratisk ligning i cos (theta). De to rødder i denne ligning er (3 + – sqrt (5)) / 2, som faktisk er 1 + – phi, hvor phi er den berømte “Golden Ratio” og er rødderne til det kvadratiske x ^ 2 – x – 1.
Da phi er en rod, viser denne ligning divideret med phi ^ 2, at den anden rod er -1 / phi. Og da phi + 1 = phi ^ 2, har vi, at rødderne til din oprindelige ligning er phi ^ 2 og 1 / phi ^ 2. Da cosinus skal være 1, skal vi bruge den mindre rod .
Overvej nu den gamle Fibonacci-serie 0, 1,1, 2, 3, 5, 8, hvor (n + 1) termen er summen af det nte og (n -1) th udtryk. Det viser sig, at phi og dets konjugerede rod er tæt beslægtet med denne serie. Den måde, hvorpå dette gælder her, er denne:
Hvis det niende Fibonacci-udtryk er F (n), så er phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Beviset er en induktion på n ved hjælp af Fibonacci-definitionen F (n + 1) = F (n) + F (n-1) i sidste trin.) Du vil derefter vise, at phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. De 6. og 7. Fer er 5 og 8. Så du har vurderet
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Hvis du multiplicerer dette og rationaliserer det andet udtryk, får du 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED