Bedste svar
Jeg bruger identiteten \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x eller
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Så \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Brug nu identiteten \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1 eller
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Så vi får
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Svar
Denne øvelse antyder brug af formler med halv vinkel til at producere nye udtryk af lavere grad. Det er svært at se dette uden sammenhæng, så skriv en note, at disse problemer altid kan løses med formler med halv vinkel.
Således kan vi bryde det originale udtryk i produktet af to (sin x) ^ 2 termer og fortsætte med at bruge den anden formel i det billede, jeg vedhæftede.
Multiplicer og udvid for at få
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Åh nej! Det ser ud til, at vi ikke er færdige! Nå ingen bekymringer, se på den første formel på mit tilpassede billede, og erstat det firkantede udtryk med udtrykket. Bemærk, at vi starter med en 2x og skal fordoble den til 4x i stedet for præcis, hvad der er skrevet i formlen. Udskift og udbytt således:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Få derefter en fællesnævner og flyt den ud med 1 / 4, hvilket giver en 1/8 på ydersiden.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Kombiner lignende udtryk til vores endelige svar
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Fremragende spørgsmål!