Bedste svar
Vi kan repræsentere ethvert positivt heltal n i basis ti-notationen som n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, hvor a\_i \ i \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} og a\_k \ neq 0. Derefter n \ geq 10 ^ k. Summen af cifrene er a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Denne ulighed følger af a\_i \ leq 9. Det er nu let at se, at hvis k \ geq 2 så er 18 (k + 1) 0 ^ k. Nu er vi tilbage med elementerne n = 10a\_1 + a\_0. Disse kan let kontrolleres med en computer. Sådan gjorde jeg det med Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Således er det eneste positive heltal, der er dobbelt så meget som dets cifre, 18. Hvis vi tillader ikke-negative heltal, har vi også 0. Jeg er ikke helt sikker på, hvordan dette spørgsmål skal fortolkes for negative heltal.
Svar
Nummeret N er produktet af de første 100 positive heltal. Hvis alle cifrene i N blev skrevet ud, hvilket ciffer ville være ud for alle nuller i slutningen?
Grundlæggende leder vi efter 100! og så vil vi kassere alle nuller i slutningen, så vil vi vide, hvad det første ikke-nul ciffer på yderste højre.
En måde er faktisk at beregne 100! ved hjælp af et program som bc (bench calculator på Linux eller Unix) og kassér derefter alle nuller for at nå frem til det krævede ciffer.
Lad os se på en anden måde at løse problemet på ved hjælp af divide and conquer-princippet.
Lad os kassere alle tal, der slutter med 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 fordi når du multiplicerer, vil det sidste ciffer i det foregående multiplum (produktet ankom indtil det tidspunkt) ikke ændre sig, og vi er ikke interesseret i beregner 100! sans nuller alligevel.
Lad os se på 1. 9 numre, der starter 2, og de er:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Fra venstre mod højre giver 2 * 3 dig 6, 6 * 4 giver dig 24, bare behold 4 og gang det med 5 for at give dig 20 (da vi vil kassere nul), hold nu 2 og gang det med 6 for at give dig 12, hold igen kun 2 og gang det med 7 for at give dig 4 (ud af 14) og gang det med 8 for at give dig 2 (kassering 3 af 32) og gang det med 9 for at give dig 8 ( at kassere 1 af 18) og multiplicere det med 10 giver dig 8 (kassering 0 eller 80). Således får du et enkelt ciffer, som er 8 .
Arbejder på samme måde på 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 giver dig 8 igen.
Den næste serie 22, 23…, 28, 29, 30 giver dig 2.
Den næste serie giver dig 4
Hvis du fortsætter på samme måde i de resterende serier, får du 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 og 2 hhv.
Nu er den sidste opgaven er at multiplicere cifrene som ovenfor, som vi er nået frem til for hver af serierne.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 og når du multiplicerer disse cifre og kassere det tiende ciffer undervejs, når vi til 4 som det sidste ciffer.
Dette er th Det sidste svar på spørgsmålet, 4 er det krævede tal.