Mejor respuesta
No hay una forma absoluta de asignar pendientes a círculos en una esfera. En el enlace proporcionado por el autor de la pregunta, se emplea un mapeo llamado parametrización estereográfica: la parametrización estereográfica mapea un plano en una esfera, esencialmente identificando el plano como homeomorfo a una esfera con un solo punto eliminado (cuando se utilizan proyecciones y parametrizaciones estereográficas, esto a menudo llamado «punto en el infinito» o punto de proyección).
Una propiedad fundamental de este mapeo es que es conforme: conserva los ángulos en los que se cruzan las curvas suaves. En particular, asigna líneas rectas en el plano a arcos geodésicos en la esfera.
Ahora, para medir la pendiente de una línea en el plano, necesitamos elegir una línea orientada contra la cual medir. Esto se elige tradicionalmente para ser el «eje x» orientado hacia la derecha, porque a menudo trabajamos con gráficos trazados contra un eje horizontal independiente (y supongo que la orientación proviene de la dirección de izquierda a derecha de la lectura de la mayoría de los idiomas occidentales). El eje que elegimos determina cómo se medirán las pendientes.
Entonces, una vez que hagamos una elección del eje, podemos mapearlo en un gran círculo en la esfera y luego describir la pendiente de un círculo. proyectándolo estereográficamente de nuevo al plano y midiendo como de costumbre. ¡Debo enfatizar, sin embargo, que esta no es una función general comiendo geodésicas y escupiendo números! Es una función que come dos geodésicas Y un punto (para que sepamos dónde está el origen, o dualmente, dónde está el «punto en el infinito»), y escupe un número que indica la pendiente relativa con respecto a un «marco de referencia».
Editar. Algo me ha estado molestando con esta respuesta desde que la escribí ayer, y esta mañana se hizo clic en un punto importante: muchos círculos en la esfera se asignan a círculos en el plano y viceversa, ya que los mapas conformes pueden intercambiar líneas y círculos (tenga en cuenta que ambas curvas tienen una curvatura constante). Por lo tanto, la pendiente de un círculo medido contra otro círculo (¡orientado!), Con un punto base elegido, no tendrá sentido en la forma que describo a menos que ambos estén mapeados a líneas en el plano. Esto es cierto precisamente cuando ambos círculos máximos intersecan el punto en el infinito y, por lo tanto, también debemos requerir que el punto que elegimos para la proyección sea también un punto de intersección del círculos. Si observa sus diferenciales en ese punto de la esfera, puede deducir su pendiente relativa. Si una fórmula ingeniosa me golpea, la actualizaré. ¡Me disculpo por ser descuidado y perderme esto!