Beste Antwort
Es gibt keine absolute Möglichkeit, Kreisen auf einer Kugel Steigungen zuzuweisen. In der vom Fragesteller angegebenen Verknüpfung wird eine Abbildung verwendet, die als stereografische Parametrisierung bezeichnet wird: Die stereografische Parametrisierung bildet eine Ebene auf eine Kugel ab, indem die Ebene im Wesentlichen als homöomorph zu einer Kugel mit einem einzelnen entfernten Punkt identifiziert wird (bei Verwendung stereografischer Projektionen und Parametrisierungen ist dies der Fall) wird oft als „Punkt im Unendlichen“ oder Projektionspunkt bezeichnet.
Eine grundlegende Eigenschaft dieser Zuordnung ist, dass sie konform ist: it behält die Winkel bei, in denen sich glatte Kurven schneiden. Insbesondere werden gerade Linien in der Ebene auf geodätische Bögen auf der Kugel abgebildet.
Um nun die Steigung einer Linie in der Ebene zu messen, müssen Sie eine orientierte Linie auswählen, an der gemessen werden soll. Dies wird traditionell als nach rechts ausgerichtete „x-Achse“ gewählt, da wir häufig mit Graphen arbeiten, die gegen eine horizontale unabhängige Achse aufgetragen sind (und ich vermute, dass die Ausrichtung von links nach rechts erfolgt, um die meisten westlichen Sprachen zu lesen). Die von uns gewählte Achse bestimmt, wie Steigungen gemessen werden.
Sobald wir eine Achsenauswahl getroffen haben, können wir diese einem großen Kreis auf der Kugel zuordnen und dann die Steigung eines Kreises beschreiben indem man es stereographisch zurück in die Ebene projiziert und wie normal misst. Ich muss jedoch betonen, dass dies keine allgemeine Funktion ist, Geodäten zu essen und Zahlen auszuspucken! Es ist eine Funktion, die zwei Geodäten UND einen Punkt frisst (damit wir wissen, wo der Ursprung liegt oder doppelt, wo der „Punkt im Unendlichen“ liegt) und spuckt eine Zahl aus, die die relative Steigung in Bezug auf einen „Referenzrahmen“ angibt.
Bearbeiten. Seit ich sie gestern geschrieben habe, hat mich etwas mit dieser Antwort gestört, und heute Morgen wurde ein wichtiger Punkt angeklickt: Viele Kreise auf der Kugel werden Kreisen in der Ebene zugeordnet und umgekehrt, da konforme Karten Linien und Kreise austauschen können (Beachten Sie, dass beide Kurven eine konstante Krümmung haben). Die Steigung eines Kreises, gemessen an einem anderen (orientierten!) Kreis mit einem ausgewählten Basispunkt, ist in der von mir beschriebenen Weise nur dann sinnvoll, wenn beide Linien auf Linien in der Ebene abgebildet sind. Dies gilt genau dann, wenn beide Großkreise den Punkt im Unendlichen schneiden , und daher müssen wir auch verlangen, dass der Punkt, den wir für die Projektion auswählen, auch ein Schnittpunkt des ist Kreise. Wenn Sie ihre Unterschiede an diesem Punkt auf der Kugel betrachten, können Sie ihre relative Steigung ableiten. Wenn mich eine raffinierte Formel trifft, werde ich sie aktualisieren. Ich entschuldige mich dafür, dass ich schlampig bin und dies vermisse!