Paras vastaus
Annetaan, että
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 kertaa x kertaa \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nyt x: n arvo ^ 2 tulee olemaan – \ omega ja – \ omega ^ 2
Minne
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Ja
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Otetaan x ^ 2 on – \ omega
Nyt annettu lauseke on \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Oikea nuoli {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Muista nyt \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Joten
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ kertaa {\ omega}) + (1 \ kertaa {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Joten vastaus on 0
============================================= ================= ===
Piditkö vastauksestani? Haluatko lukea lisää kirjoittamista, kuten yllä pidetyt tavarat? Seuraa minua ja äänestä tätä vastausta.
Vastaa
Tämä ongelma on melko yksinkertainen kuin se näyttää aluksi, ja se on oppitunti siitä, kuinka hyödyllinen se voi olla symmetrian etsiminen – ja sitten hyödyntäminen. Ongelma ei vaadi mitään laskennan ratkaisemista, vaikka jos tiedät joitain laskelmia, tämä lähestymistapa toimii erittäin hyvin. Avain ei-Calculus-ratkaisuun on havaita, että jos sama arvo minimoi g (x) ja h (x), niin se minimoi myös g (x) + h (x). Näetkö miksi tämä on totta?
Kuinka voimme soveltaa ajatusta tähän ongelmaan?
Harkitse g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4) ) ^ 4. Tämä funktio on symmetrinen arvoon x = 3,5 – puoliväliin +3: n ja +4: n välille lisättyjen arvojen välillä – koska voimme kirjoittaa sen muodossa g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Kun y = x + 3,5, tämä symmetria tarkoittaa, että g (y): n on oltava tasainen polynomi, joten se sisältää termejä, joilla on vain y: n parilliset voimat. Koska se on tasainen polynomi, binomioteoreema kertoo meille, että kaikkien sen kertoimien on oltava positiivisia. (Itse asiassa se on g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, mutta meidän ei tarvitse edes löytää näitä kolmea termiä nimenomaisesti argumentin loppuun saattamiseksi.) Koska y = 0, pienentää selvästi kukin niistä g (y): n summista erikseen, koska jokainen on y: n tasainen voima positiivisella kertoimella, aloitushavaintomme tarkoittaa, että y = 0 täytyy minimoida myös g. Joten olemme huomanneet, että x = -3,5 on g (x): n ainutlaatuinen minimoija.
Harkitse seuraavaksi h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Tämä funktio on hiukan yksinkertaisempi kuin g, koska se on neliöllinen, ja lähes identtinen argumentti viittaa siihen, että x = 3,5 on myös h (x): n ainutlaatuinen minimoija. Käytä symmetriaa kirjoittaaksesi sen muodossa h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Huomaa sitten, että h (y) on tasainen polynomi (joten sillä on vain y: n vain parilliset voimat), ja päätä binomioteoreemalla, että sillä on vain positiiviset kertoimet. Itse asiassa h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, mutta jälleen kerran meidän ei tarvitse löytää sitä nimenomaisesti. Koska y = 0 minimoi kaikki termit, jotka lisätään tuottamaan h (y), tiedämme, että y = 0 minimoi h (y), ja päätellään, että x = -3,5 on h (x): n ainutlaatuinen minimoija.
Lopuksi, koska x = -3.5 on sekä g (x): n että h (x): n ainutlaatuinen minimoija, se on niiden summan ainutlaatuinen minimoija ja ongelma on ratkaistu.