Paras vastaus
Ymmärrän haluamasi vastauksen täällä. Perinteisesti taitto on asian arvo; ergo, kertaluonteinen kasvu on 100\%. Tämä aiheuttaa kuitenkin hämmennystä, koska useimmat ihmiset pitävät kaksinkertaista kiinnostusta kaksinkertaisena asian arvossa (200\%) – suosittu määritelmä. Jopa Collinsin matematiikan sanakirjassa määritellään ”-taitto” tarkoittamaan ”kertaa”, kuten ”kaksinkertainen” on ”kaksi kertaa”, mikä on kaksinkertainen. Jotkut tutkijat käyttävät ”taitetta” synonyyminä matemaattiselle termille ” kertaa ”kuten” kolme kertaa suurempi ”tarkoittaa” kolme kertaa suurempi ”. Toiset kuitenkin vaativat ”taittoa” perinteisesti kuvaamaan asian kokonaisarvoa; näin ollen ”60 on yksi kerta suurempi kuin 30.”
Olen varma, että tämä ei tee sinulle helpompaa päättää – suosittu versio perinteisempään käyttöön nähden – mutta väärinkäsitysten välttämiseksi, jokapäiväisessä käytössä kannattaa ehkä noudattaa suosittua määritelmää.
Vastaa
Mielenkiintoinen kysymys. Pienennetään se.
- Miksi determinantit lasketaan ?
Suoraan sanottuna, maan päällä ei ole yhtä syytä, miksi sinun pitäisi laskea determinantti, paitsi kun sitä kysytään lineaarisessa algebratestissä. Determinantteja käytetään ratkaisun olemassaolotodistuksessa. lineaaristen yhtälöiden joukkoon, jonka muoto on Ax = b, jossa determinanteilla on tärkeä rooli. Cramerin sääntö – Wikipedia
Tämä on johtanut monien harhaanjohtavien sielujen johtopäätökseen, että tämä sääntö on hyvä tapa laskea mainittu ratkaisu. Ei ole. Anna minun selittää miksi.
2. Miksi determinantit lasketaan samalla tavalla kuin ne lasketaan
Ensimmäinen asia, jonka opit lineaarisessa algebrassa 101, on laajentaa determinanttia riville tai sarakkeelle, joka voidaan muotoilla rekursiivisesti nimellä
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
jossa A\_ {kj } on alimatriisi, jonka saat poistamalla A: n k: nnen rivin ja j: nnen sarakkeen. Tämä on OK, jos matriisisi on 3 \ kertaa3 tai 4 \ kertaa 4, tulee tylsäksi, kun n = 5, ja sitä ei voi kumota suuremmalle n . Mutta meillä on tietokoneita, eikö olekin? Selvä. Tehdään tämä tieteellisesti ja lasketaan operaatio. Olkoon T\_n operaatioiden määrä laskeaksesi n \ kertaa n determinantin tällä tavalla. Lineaarisessa algebrakontekstissa ”operaatio” on kertolasku, jota seuraa lisäys. Sitten selvästi
T\_n = nT\_ {n-1}
Hei! Eikö tämä soi kelloa? Kyllä, tämä on tiedekunnan toiminto ja T\_n = n !. Jos meillä olisi tietokone, joka pystyy suorittamaan 10 ^ {20} operaatiota sekunnissa, mikä voi vain tapahtua, jos kvanttitietokoneet alkavat toimia ja meidän on laskettava tarvittava 100×100-determinantti rivin tai sarakkeen laajennuksella.
100! = 9.3326E157
toiminnot. Ja 100 \ kertaa100 ei ole liian suuri, teolliset sovellukset joutuvat usein miljooniin. Nyt vuodessa on 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 sekuntia, joten voimme tehdä enintään 3.2E27 operaatioita vuodessa, mikä on vain pisara 9.3E157: n mereen. Tarvitsemme tarkemmin 3E130 vuotta, ja kun otetaan huomioon, että maailmankaikkeuden arvioitu ikä on 13,8E9 (6E3, jos olet kreacionisti) vuotta, meillä on pari vuotta lyhyt.
Johtopäätös: tämä ei ole hyvä tapa laskea determinantti.
Ja kun haluat laskea ratkaisun Cramerin säännön mukaan, sinun on laskettava 101 determinanttia. Cramerin sääntö ei ole ollenkaan r00l! Se on teoreettinen, eikä sillä ole käytännön arvoa.
Siksi sinun tulisi käyttää LU-hajotusta ( LU-hajoaminen – Wikipedia ) laskeaksesi determinantti ja lisäetuna se antaa sinulle myös ratkaisun järjestelmääsi Ax = b. LU: n operaatioiden määrä on \ frac13n ^ 3. Saadaksesi determinantin, kerrot kaikki U.: n diagonaaliset elementit. (\ Cal O (n)). Järjestelmän ratkaisun saamiseksi Ax = b vaatii vielä n ^ 2 operaatiota. Joten kaikki kaikessa, mikä vaatisi 3.34E5-operaatioita, ja olisimme valmiita 10 ^ {- 14} sekunnin kuluttua.
Sheldon Axler kirjoitti lineaarisen algebran tekstin, joka ei käytä mitään determinantteja https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
ja olen varma, että Alon Amit (”matriisit imevät, operaattoreiden sääntö”) hyväksyisi.