Paras vastaus
Käytän identiteettiä \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x tai
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
So \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Käytä nyt identiteettiä \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1 tai
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Joten saamme
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Vastaa
Tässä harjoituksessa vihjataan puolikulmakaavojen käyttämisestä uusien alemman asteen lausekkeiden tuottamiseen. Tätä on vaikea nähdä ilman asiayhteyttä, joten muista, että nämä ongelmat voidaan aina ratkaista puolikulmakaavoilla.
Täten voimme jakaa alkuperäisen lausekkeen kahden (sin x) ^ 2 termin tuloksi ja käyttää toista kaavaa katselemassani kuvassa.
Kerro ja laajenna saadaksesi
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Voi ei! Näyttää siltä, ettemme ole tehneet! No ei hätää, katsokaa katsellun kuvan ensimmäistä kaavaa ja korvaa neliötermi lausekkeella. Huomaa, että aloitamme 2x: llä ja meidän on kaksinkertaistettava se 4x: ään sen sijaan, mitä kaavassa on kirjoitettu. Siten korvaa ja tuottaa:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Hanki sitten yhteinen nimittäjä ja siirrä se ulos 1 / 4, jolloin ulkopuolelta saadaan 1/8.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Yhdistä lopulliseen vastaukseemme samankaltaiset termit
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Erinomainen kysymys!