Paras vastaus
Alun perin vastattu: Mikä on hyvä arvio kuution juuresta 4: stä?
N: n n: n juuri on x ^ nN = 0 -juuri. X ^ nN: n johdannainen on nx ^ {n-1}, joten kun otetaan huomioon juuren alkuperäinen estimaatti, x, lähempi estimaatti Newtonin menetelmällä on
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
joka on ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 näistä keskiarvo}} \ text {ja} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Tällä painotetulla keskiarvolla on järkeä, kun huomaat, että sekä x että \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} ovat arvioita N: n n: n juuresta, että ne ovat ”pois” vastakkaisiin suuntiin ja että x on n-1 kertaa parempi estimaatti kuin \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Sovelletaan nyt menetelmää …
Olkoon N = 4. Olkoon x arvio 4: n kuution juuresta. Aloita hyvällä arvauksella, kuten x = 2. Laske sitten
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ saadaksesi paremman arvion.
Tässä tapauksessa
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ kertaa2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ noin 1,66666667…
Toista sitten x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ vasen (\ dfrac {5} {3} \ oikea) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ kertaa5} {3} + \ dfrac {4 \ kertaa 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ noin 1,5911111 …
Tämä on likimääräinen 3 merkitsevää numeroa, joten tehkäämme se vielä kerran,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ kertaa 358} {225} + \ dfrac {4 \ kertaa 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ noin 1,58740969614163 …
Tämä on hyvä noin kuudelle merkittävälle numerolle. Jokaisella iteraatiolla oikean numeron määrä kaksinkertaistuu.
Vastaa
Matematiikassa tiedät kuinka paljon tiedät, on 2 mahdollista tapaa-
- Käytä logaritmeja
- Käytä iteratiivisia menetelmiä (Bisection-menetelmä, Newton-Raphson-menetelmä jne.)
Logaritmit- Ota x = 2 ^ {1/3}
Joten, kirjaudu (x) = 1/3 * loki (2)
loki (x) = 1/3 * 0,30102999 = 0,100343 (noin)
siksi x = antilog (0,100343) = 1,2599 (noin)
Iteratiiviset menetelmät- Näytän puolitusmenetelmällä, voit kokeilla muita, jos haluat. (Prosessi on melkein sama.)
Olkoon x = 2 ^ {1/3}
Joten, x ^ 3 – 2 = 0
Olkoon f (x) = x ^ 3 – 2
Valitsemme kaksi arvoa siten, että yksi antaa f (x) <0 ja toinen antaa f (x)> 0
Näemme, että f (x) <0 x = 1: lle ja f (x)> 0 x = 2: lle. Joten, x1 = 1, x2 = 2
Otetaan nyt näiden arvojen keskiarvo uutena x
Joten uusi x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Näemme, että sekä 1,5 että 2 antavat arvoja> 0, joten hylkäämme 2, koska se antaa f (x) -arvon kauemmaksi nollasta. Pidämme vain x: n arvot, jotka antavat f (x) -arvon lähemmäksi 0
Otetaan siis x1 = 1 ja x2 = 1,5
löydämme jälleen uuden x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Nyt hylkää 1 arvona 1,25, jolloin f (x): n arvo on lähempänä 0
joten otamme x1 = 1,25 ja x2 = 1,5
Jälleen löydämme uuden x näiden 2 arvon keskiarvona, korvaa f (x) nähdäksesi sen merkin, ja siitä riippuen otamme uudet x1- ja x2-arvomme.
Toista tätä prosessia, kunnes olet tyytyväinen vastaukseesi (viimeinen x).
P.S. Nämä prosessit eivät koskaan anna tarkkaa vastausta, sinun on lopetettava jokin likimääräinen.