Paras vastaus
Aloita tarkkailemalla, että synti 35 ° on lähellä sin 30 ° = 1/2. Joten tiedämme heti, että se on suunnilleen 1/2. Se on noin 7\% todellisesta arvosta.
Yritetään saada parempi arvio. Kulman lisäysidentiteetin mukaan
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Koska 5 ° = π / 36 on suhteellisen pieni kulma, voimme käyttää likiarvoja sin x ≈ x ja cos x ≈ 1. Joten
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nyt π ≈ 22/7 ja (√3 / 2) ≈ 7/4, koska 49/16 ≈ 3. Joten saamme
synnin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Tämä eroaa todellinen arvo vähemmän kuin 1\%.
Toinen tapa on laskea se käyttämällä ensimmäisiä termejä Taylor-sarjan laajennuksessa sin x . Tämä on tarkempi kuin 0,1\%, mutta sitä on vaikeampi laskea käsin kuin 83/144.
Vastaus
Sin (35) = Sin (45-10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nyt Sin (3x), yleisestä kaavasta, on yhtä suuri kuin 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, joten x = 10 astetta, mikä antaa Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 ja siksi
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 tai, manipuloimalla tätä yhtälöä ja asettamalla Sin (10) = y, saamme
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Ratkaise tämä kuutio numeerisella iteratiivisella menetelmällä, kuten Newton-Raphsonin menetelmä, käsin saadaksesi iskulauseen jälkeen:
y = 0,17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Voit tietysti mennä vähemmän lukuihin riippuen tarvitsemastasi tarkkuudesta.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0,9848077530122.
Laita Cos: n (10) ja Sin (10): n arvot yllä olevaan kohtaan (1) saadaksesi:
Sin (35) = 0,57357643639 pyydettäessä.