Paras vastaus
Katsellessani muita jo lähetettyjä vastauksia, en ole ollenkaan tyytyväinen niiden täydellisyyteen. … Ja kokenut matematiikan ohjaajana minusta on pakko antaa lyhyt vastaus.
Antamasi cos (2x) -kaava on yksi kosinin kolmesta kaksinkulmaidentiteetistä. Tämän yhtälön ratkaiseminen sinille (x / 2) johtaa sinin puolikulmaidentiteetin.
Huomaa, että missä Merkitsin *. Yksi vähemmän tunnetuista trigonometrian säännöistä osoittaa, että voit jakaa kaikki trig-funktion argumentit samalla yhtälöllä yhtälön molemmin puolin. Itse asiassa voit jakaa minkä tahansa vakion. mutta tämä ei välttämättä aina ole hyödyllistä. Yritä ratkaista yllä oleva synnin yhtälö (x / 3) ja löytää sitten synti (pi / 12). Se toimii kauniisti.
Nyt, kun haluat käyttää sin (x / 2) -kaavaa, sinun on manipuloitava annettua yhtälöä vastaavalla, monimutkaisella murtoluvulla, kuten tässä on esitetty:
Tämä näkyy tietysti yllä olevassa ensimmäisessä kuvassa. Puolikulmaidentiteetin tuntemisen / johtamisen lisäksi suurempi haaste on sen soveltaminen.
Vastaus
I. Käyttäkäämme ongelmanratkaisutapaa, joka tunnetaan nimellä vastaavuus .
Tällä lähestymistavalla valitsemme edullisen objektin tai joukon esineitä ja tarkastelemme heille eri… kulmista toivoen, että voimme saada aikaan hedelmällisen suhteen prosessissa.
Yksi tällainen kohde tai käsite voisi olla neliöalue .
Aloitetaan suorakulmiosta, jonka hypotenuusin pituus on yhtenäisyys, valitaan kulma x ja merkitään kolmion sivujen pituudet \ cos x, joita olemme samaa mieltä kolmion korkeus ja \ sin x, joita olemme samaa mieltä kolmion pohjasta :
Tällöin on todistettu tosiasia, että kolmion neliöala on sen puolikkaan puolitettu tulo e yli korkeuden:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Seuraava vaihe on melko haastava, koska tyhjiössä emme oikeastaan tiedä tarkalleen, mikä odottaa meitä 2 \ sin x \ cos x: n toisella puolella. Löytäjien näkökulmasta tuijotamme tuntemattoman kuiluun. Kutsukaa sitä siis intuitioon, onnelliseksi ajatukseksi tai vain nenäksi, mutta perustelemme näin:
ok, olemme löytäneet tavan liittää konkreettinen käsite (neliön muotoinen alue) muuten abstraktiin ja, tunnustetaan se, melko salaperäinen ilmaisu, mutta – ei tarkalleen, koska meidän on silti käytettävä kerrointa 2 siellä.
Kuinka voimme tehdä sen?
No, entä kahden samanlaisen kolmion viereen liittäminen yhdessä?
Sitten korkeus tai \ cos x meidän kielessämme pysyy samana, mutta voitamme hitsaamalla kaksi identtistä alustaa, \ sin x meidän kielessämme, yhteen:
Huomaa, että seuraamme / tulkitsemme lausekettasi pedanttisesti.
Nyt on aika vastaavuus pysyä korkealla ja laskea. Uusi yhdistelmämuoto on edelleen kolmio ja sen neliöala on edelleen:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
mutta meillä on oikeus katsoa samaa muotoa eri tavalla: jos käsittelemme pituuden 1 sivua pohjana, niin sen kohtisuorassa oleva, punaisella esitetty, on korkeus. Mutta yläkulman kulma on 2x. Siksi uusi korkeus määritelmän mukaan on:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Siksi saman neliön sama neliöalue voi olla hahmonnettu muodossa:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Mutta ( 2 ) ja ( 4 ) edustavat samaa suuruutta. Siksi:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
mistä löydämme, että:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Saat samanlaisen, mutta lukutaitoisemman käsittelyn aloittamalla samalla kolmiolla kuin yllä ja kaksinkertaistamalla sen \ sin x sivun pituuden rakentamalla ympyrä \ sigma, jonka keskipiste on B: ssä ja säde BA:
Mutta nyt AC leikkaa \ sigman pisteessä E (niin kauan kuin x 5 ^ {\ circ}) ja joko Thalen lauseen tai Eukleidin B3P31 (puoliympyrän kulma on oikea) kulma E: ssä on oikea:
ja koska suorakulmioilla ABC ja AED on yhteinen kulma \ theta, seuraa, että \ kulma ADE = x ja \ kolmiosta AED ED: lle:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Mutta oikean kolmion CED ED: lle on:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
ja siksi:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(saatat ajatella tätä pienemmällä vastaavuudella, koska olemme käyttäneet viivasegmentin pituutta kahden kappaleen välisen aukon muodostamiseksi)
III. Todennäköisesti tämä versio saattaa tuntua liian edistyneeltä, mutta näytän sen joka tapauksessa kahdesta syystä. Yksi syy on osoittaa, että matematiikassa ei ole vain monia tapoja saavuttaa sama tulos, mutta jotkut näistä tavoista saattavat tuntua yllättäviltä. Toinen syy – sinulla on mitä odottaa oppimista.
Matemaattisen opetuksesi jossain vaiheessa saatat kohdata näitä objekteja nimeltä kompleksiluvut . Näillä numeroilla kaksi trigonometristä funktiota voidaan tallentaa seuraavasti (suuren sveitsiläisen matemaatikon Leonard Eulerin (1707–1783) takia):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
missä e on Eulerin numero ja minulla on tämä erikoinen ominaisuus, että i ^ 2 = -1, mutta ohittaa kaiken tämän hetkeksi ja vain tylsästi kerro edellä olevat kaksi murto-osaa lukion algebran sääntöjen mukaisesti:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
( 5 ) mukaan.