Paras vastaus
Kuinka löydän pyöreän renkaan pinta-alan?
Pyöreä rengas rengas on pohjimmiltaan torus.
Toruksen pinta-ala on ympyrä, jonka säde r pyörii akselin ympäri etäisyydellä R etäisyydellä ympyrän keskipisteestä (R> r). Akseli kulkee toruksen keskipisteen läpi.
Saamme siis pyöreän renkaan, jonka paksuus on 2r, sisäsäde Rr ja ulkosäde R + r.
Poikkileikkaus ympyrästä rengas on annettu alla.
Tarkastellaan pientä ympyrän osaa vasemmalla, kulmassa \ theta linjan kanssa. yhdistämällä kahden ympyrän keskikohdat poikkileikkauksen diametraalisesti vastakkaisiin päihin ja vetäen kulman d \ theta ympyrän keskelle kuvan osoittamalla tavalla.
Kulman d muodostama kaari \ theta on r \, d \ theta.
Tämän kaaren etäisyys renkaan keskustasta on Rr \ cos \ theta.
Kun kierrämme tätä kaarta akselin ympäri renkaan keskipisteen läpi kulkevan renkaan pinnan nauha on 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta.
Saadaksesi renkaan pinta-alan rengas meidän on integroitava tämä välillä \ theta = 0 – \ theta = 2 \ pi.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ limits\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ vasen [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad pyöreän renkaan pinta-ala on 4 \ pi ^ 2rR.
Vastaus
Olen nähnyt kahdenlaisia pyöreitä renkaita.
[1] Pyöreä rengas, jonka poikkileikkaus on pyöreä.
tässä tapauksessa pinta-ala löytyy vain leikkaamalla poikkileikkaus. Se näyttäisi siltä, että… sylinterimäinen sauva.
Pinnan löytäminen on
Sylinterimäisen tangon säde, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, jossa R\_1 ja R\_2 ovat pyöreän renkaan sisäisiä ja ulkoisia säteitä.
Sylinterimäisen tangon pituus, l = 2 \ pi R\_m, jossa R\_m on keskirenkaan keskimääräinen säde, ts. R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Pinta-ala = 2 \ pi rl = 2 \ kertaa \ pi \ kertaa \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ kertaa (2 \ pi \ kertaa \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
ts , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Pyöreä rengas ilman pyöreää poikkileikkausta: esimerkiksi ota suorakulmion poikkileikkaus
jos leikkaamme poikkileikkauksen
Pinta-ala on mielestäni helppo laskea. Tee se itse!