Paras vastaus
Koska ellipsi on pyöristetty ympyrä, voimme harkita vastaavaa ympyrää. Tämä olisi vain approksimaatio eikä ellipsin kehän tarkka arvo.
Tiedämme, että ellipsin yhtälö on:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Kun a = b = r, tästä tulee ympyrän yhtälö. Joten voisin kirjoittaa yhtälön ympyrän ekvivalenttisäteen suhteen a ja b.
Ottaen pikemminkin a: n ja b: n keskiarvon saisimme paremman likiarvon ottamalla a: n ja b: n keskikeskiruudun.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Siksi ellipsin likimääräinen ympärysmitta olisi:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
On paljon parempia likiarvoja, mutta mielestäni tämä riittää.
Toivottavasti tämä auttoi.
Vastaa
Yritetään, löydetäänkö ellipsin ympärysmitta.
Ellipsi, jossa on puoli-pääakselilla a ja puoli-akselilla b on yhtälö:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Kaavio (meidän on tehtävä tässä maali, Math-ohjelmisto tarvitsee lisenssin uusimisen):
Ympyrän löytämiseksi meidän on ilmaistava osa tästä ympärysmitasta \ text {d} s \ text {d} x, \ text {d} y funktiona ja toivottavasti saapuvat jossain käyttökelpoisessa lausekkeessa.
Jos oletamme, että voimme arvioida \ text {d} s suoralla viivalla, voimme käyttää Pythagorasta:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
tai
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ vasen (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ oikea) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Oletan, että otamme aina \ text {d} x> 0 tai siirrymme vasemmalta oikealle pääakselin suuntaan.
Jäljellä on vain mainostamista d nämä pienet valokaaren pituuden vaikutukset. Harkitsemme x \: ää [0, a]: ssa ja kerrotaan 4: llä, koska ellipsimme on symmetrinen x, y-akselilla.
Löysimme:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ vasen (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Jos löydämme (mukavan) tavan ilmaista:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
olemme liiketoiminnassa.
Meillä on kuitenkin jo lauseke (1), joka liittyy y: ään x: ään. Aika laskea (3), käytän implisiittistä erottelua:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
tai
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
tai
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Tämä on voitava kirjoittaa vain x: llä. Käytämme (1) uudelleen:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Korvaa (5) muotoon (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Korvaa (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Tämän integraalin uudelleenkirjoittamiseen on muutama vaihtoehto. Yksi vaihtoehto olisi asettaa x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z ja toinen saapuisi:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Erilainen menetelmä olisi käyttää seuraavan muodon ellipsin parametrointia:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Ja tämä johtaa toisenlaiseen elliptiseen integraaliin, joka on suunnilleen tavanomainen lähestymistapa:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
kanssa
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
7). Viimeinen lauseke on paitsi parametrin e yksinkertaisempi myös käyttäytyy hienosti. Lausekkeessa (6,7) meillä on edelleen ongelma, kun x \ a, z \ 1.
Kuitenkin Tulokselle ei ole suljettua muotolauseketta. Ympyrälle meillä on e = 0 ja (8) pienenee kauniisti arvoon 2 \ pia, kuten sen pitäisi tehdä. Sama pätee (6,7): een. p>