Paras vastaus
Laskemme numeron 2 esiintymisen ensin 1-10: ssä. Vain 1, nimittäin numerolle 2.
Ota seuraavaksi seuraavat kymmenen numeroa ja laske niiden numero 2 esiintyminen, niin saamme 2 eli numeroissa 12 ja 20.
Samalla tavoin se esiintyy 10 kertaa numeroissa 21-30, kuten kahdesti 22: ssä.
Jatkamalla samalla tavalla seuraaville numeroille aina 120 saakka (mukaan lukien) Selvitä, että se on olemassa kerran jokaisessa kymmenessä luvussa plus yksi kerta, yhteensä 10.
Vuosien 121 ja 130 välillä se esiintyy uudelleen 10 kertaa, koska se esiintyy jälleen kahdesti vuonna 122.
Alkaen 131 190: een numero 2 esiintyy kerran jokaisessa 10 numerossa, yhteensä 6.
Ja kymmenessä viimeisessä numerossa (191–200) se esiintyy kahdesti.
Kaikkien esiintymien lisääminen yhteen havaitsemme, että numero 2 esiintyy 41 kertaa, nimittäin numeroissa 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 ja 200.
Vastaa
Näytän sinulle kaksi sääntöä, niitä voi olla monia.
Niiden välillä ensimmäinen on helppo ja toinen matemaattisempi ja tieteellisempi:
Prosessi 1:
Jos teemme n ^ 5, tuloksen viimeinen numero tulee aina olemaan sama kuin n: n viimeinen numero.
Nyt kun lisätään (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Viimeinen numero tulee lisäyksen viimeisenä numerona (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Nyt,
Lisäyksen viimeinen numero (1 + 2 + 3 +… .. + 99)
= \ fracin viimeinen numero {99 \ kertaa (99 + 1)} {2}
= \ frac {99 \ kertaa 100: n viimeinen numero {2}
= 0
Joten lisäyksen viimeinen numero
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) on Zero.
Prosessi 2:
Tiedämme sen,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Joten, mallille (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Vastaus on
161708332500
Joten viimeinen numero on nolla .
PS: Tiedämme, että 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a kirjoitetaan matemaattisesti nimellä \ Sigma n ^ a. Tehosumman yleinen kaava tunnetaan nimellä Faulhaberin kaava (tunnetaan myös nimellä Bernoullin kaava):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ alleviivattu {k-1} n ^ {p-k + 1}
missä, \ textbf {p} ^ \ alleviivattu {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} kutsutaan laskevaksi tekijäksi ja B\_ {k} ovat Bernoullin numeroita.
Tätä kaavaa käyttämällä voidaan päätellä mikä tahansa tietty tehokaava summa, kuten se on annettu alla:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Kiitos, että luet vastaukseni. Toivottavasti tämä auttaa.